Điều kiện cần thiết để một công cụ ước tính không thiên vị là UMVUE là gì?

Theo định lý Rao-Blackwell , nếu thống kê là đủ và đầy đủ cho và , thì là một công cụ ước lượng không thiên vị tối thiểu thống nhất (UMVUE).$T$$\theta$$E(T)=\theta$$T$

Tôi tự hỏi làm thế nào để biện minh rằng một công cụ ước tính không thiên vị là UMVUE:

1. Nếu không đủ, nó có thể là UMVUE không?$T$
2. nếu không hoàn thành, nó có thể là UMVUE không?$T$
3. Nếu không đủ hoặc hoàn thành, nó có thể là UMVUE không?$T$

Về ước lượng phương sai tối thiểu thống nhất thống nhất khi không có thống kê đầy đủ tồn tại của L. Bondesson đưa ra một số ví dụ về UMVUE không hoàn thành đủ số liệu thống kê, bao gồm cả thống kê sau:

Hãy để được quan sát độc lập của một biến ngẫu nhiên X = μ + σ Y , nơi μ và σ là chưa biết, và Y là gamma phân phối với tiếng tham số hình dạng k và được biết đến thông số quy mô θ . Sau đó ˉ X là UMVUE của E ( X ) = μ + k q σ . Tuy nhiên, khi k ≠ 1 thì không có thống kê đủ hoàn chỉnh cho$X_1, \ldots, X_n$$X = \mu + \sigma Y$$\mu$$\sigma$$Y$$k$$\theta$$\bar{X}$$E(X) = \mu + k\theta\sigma$$k \neq 1$ .$(\mu, \sigma)$

Hãy để chúng tôi chỉ ra rằng có thể có UMVUE không phải là một thống kê đầy đủ.

Trước hết, nếu ước lượng mất (nói) giá trị 0 trên tất cả các mẫu, sau đó rõ ràng T là một UMVUE của 0 , mà sau có thể được coi là một (không đổi) chức năng của θ . Mặt khác, công cụ ước tính T này rõ ràng là không đủ nói chung.$T$$0$$T$$0$$\theta$$T$

Nó là một chút khó khăn hơn để tìm thấy một UMVUE của "toàn bộ" tham số chưa biết θ (chứ không phải là một UMVUE của một hàm của nó) sao cho Y là không đủ cho θ . Ví dụ, giả sử các "dữ liệu" được cho chỉ bằng một rv bình thường X ~ N ( τ , 1 ) , nơi τ ∈ R là không rõ. Rõ ràng, X là đầy đủ và hoàn chỉnh cho τ . Đặt Y = 1 nếu X ≥ 0 và Y = 0 nếu X < $Y$$\theta$$Y$$\theta$$X\sim N(\tau,1)$$\tau\in\mathbb{R}$$X$$\tau$$Y=1$$X\ge0$$Y=0$$X<0$, Và để cho
; như thường lệ, chúng ta biểu thị bởi Φ và φ , tương ứng, lũy và pdf của N ( 0 , 1 ) . Vì vậy, ước lượng Y là không thiên vị cho θ = Φ ( τ ) và là một chức năng của hoàn chỉnh thống kê đủ X . Do đó, Y là một UMVUE của θ $\theta:=\mathsf{E}_\tau Y=\mathsf{P}_\tau(X\ge0)=\Phi(\tau)$$\Phi$$\varphi$$N(0,1)$
$Y$$\theta=\Phi(\tau)$$X$$Y$ .$\theta=\Phi(\tau)$

Mặt khác, hàm là liên tục và ngày càng nghiêm ngặt trên R , từ 0 để 1 . Vì vậy, sự tương ứng R ∋ τ = Φ - 1 ( θ ) ↔ θ = Φ ( τ ) ∈ ( 0 , 1 ) là một song ánh. Nghĩa là, chúng ta có thể tái parametirize vấn đề, từ τ để θ , một cách one-to-one. Do đó, Y là một UMVUE của θ , không chỉ dành riêng cho các "cũ" tham số $\Phi$$\mathbb{R}$$0$$1$$\mathbb{R}\ni\tau=\Phi^{-1}(\theta)\leftrightarrow\theta=\Phi(\tau)\in(0,1)$$\tau$$\theta$$Y$$\theta$$\tau$, Nhưng đối với "mới" tham số là tốt. Tuy nhiên, Y không đủ cho τ và do đó không đủ cho θ . Trên thực tế, P τ ( X < - 1 | Y = 0 ) = P τ ( X < - 1 | X < 0 ) = P τ ( X < - 1 $\theta\in(0,1)$$Y$$\tau$$\theta$ nhưτ→∞; ở đây chúng tôi sử dụng biết đến tiệm cận tương đươngΦ(-τ)~φ(-τ)/τnhưτ→∞, mà sau bởi sự cai trị Bệnh viện l'. Vì vậy,Pτ(X<-1|Y=0)phụ thuộc vàoτvà do đó trên

$$\begin{multline*} \mathsf{P}_\tau(X<-1|Y=0)=\mathsf{P}_\tau(X<-1|X<0)=\frac{\mathsf{P}_\tau(X<-1)}{\mathsf{P}_\tau(X<0)} \\ =\frac{\Phi(-\tau-1)}{\Phi(-\tau)} \sim\frac{\varphi(-\tau-1)/(\tau+1)}{\varphi(-\tau)/\tau}\sim\frac{\varphi(-\tau-1)}{\varphi(-\tau)}=e^{-\tau-1/2} \end{multline*}$$ $\tau\to\infty$$\Phi(-\tau)\sim\varphi(-\tau)/\tau$$\tau\to\infty$$\mathsf{P}_\tau(X<-1|Y=0)$$\tau$$\theta$, cho thấy không đủ cho θ (trong khi Y là UMVUE cho θ ).$Y$$\theta$$Y$$\theta$