Sự khác biệt giữa dữ liệu trung bình sau đó khớp và khớp dữ liệu sau đó lấy trung bình

Nếu có, giữa việc khớp một dòng với nhiều "thí nghiệm" riêng biệt thì lấy trung bình các mức khớp hoặc lấy trung bình dữ liệu từ các thử nghiệm riêng biệt sau đó khớp với dữ liệu trung bình. Hãy để tôi giải thích:

Tôi thực hiện mô phỏng máy tính tạo ra một đường cong, hiển thị bên dưới. Chúng tôi trích xuất một số lượng, hãy gọi nó là "A" bằng cách khớp vùng tuyến tính của ô (thời gian dài). Giá trị đơn giản là độ dốc của vùng tuyến tính. Tất nhiên có một lỗi liên quan đến hồi quy tuyến tính này.

Chúng tôi thường chạy 100 hoặc hơn các mô phỏng này với các điều kiện ban đầu khác nhau để tính giá trị trung bình là "A". Tôi đã được thông báo rằng tốt hơn là trung bình dữ liệu thô (của âm mưu bên dưới) thành các nhóm nói 10, sau đó phù hợp với "A" và trung bình 10 "A" đó với nhau.

Tôi không có trực giác cho dù có bất kỳ giá trị nào cho điều đó hay nếu nó tốt hơn việc phù hợp với 100 giá trị "A" riêng lẻ và tính trung bình cho các giá trị đó.

Hãy tưởng tượng chúng ta đang ở trong một bối cảnh dữ liệu bảng, nơi có sự thay đổi theo thời gian và giữa các doanh nghiệp . Hãy nghĩ về mỗi khoảng thời gian là một thử nghiệm riêng biệt. Tôi hiểu câu hỏi của bạn là liệu nó có tương đương để ước tính hiệu ứng bằng cách sử dụng:i $t$$i$$t$

• Biến đổi cắt ngang trong trung bình chuỗi thời gian.
• Chuỗi thời gian trung bình của biến thể cắt ngang.

Câu trả lời nói chung là không.

Các thiết lập:

Trong công thức của tôi, chúng ta có thể nghĩ mỗi khoảng thời gian là một thử nghiệm riêng biệt.$t$

Giả sử bạn có một bảng điều khiển cân bằng về chiều dài trên hãng. Nếu chúng ta chia mỗi khoảng thời gian cách nhau v.v ... chúng ta có thể viết dữ liệu tổng thể dưới dạng:n ( X t , y t$T$$n$$(X_t, \mathbf{y}_t)$

$$Y = \begin{bmatrix} \mathbf{y}_1 \\ \mathbf{y}_2 \\ \ldots \\ \mathbf{y}_n \end{bmatrix} \quad \quad X = \begin{bmatrix} X_1 \\ X_2 \\ \ldots \\ X_n \end{bmatrix}$$

Trung bình phù hợp:

$$\begin{align*} \frac{1}{T} \sum_t \mathbf{b}_t &= \frac{1}{T} \sum_t \left(X_t'X_t \right)^{-1} X_t' \mathbf{y}_t \\ &= \frac{1}{T} \sum_t S^{-1}_t \left( \frac{1}{n} \sum_i \mathbf{x}_{t,i} y_{t,i}\right) \quad \text{where } S_t = \frac{1}{n} \sum_i \mathbf{x}_{t,i} \mathbf{x}_{t,i}' \end{align*}$$

Mức trung bình:

Điều này nói chung không bằng với ước tính dựa trên sự thay đổi cắt ngang của trung bình chuỗi thời gian (tức là giữa công cụ ước tính).

$$\left( \frac{1}{n} \sum_i \bar{\mathbf{x}}_i \bar{\mathbf{x}}_i' \right)^{-1} \frac{1}{n} \sum_i \bar{\mathbf{x}}_i \bar{y}_i$$

Trong đó v.v ...$\bar{\mathbf{x}}_i = \frac{1}{T} \sum_t \mathbf{x}_{t, i}$

Ước tính OLS gộp:

Một cái gì đó có lẽ hữu ích để suy nghĩ là ước tính OLS gộp. Nó là gì? Sau đó sử dụng

$$\begin{align*} \hat{\mathbf{b}} &= \left(X'X\right)^{-1}X'Y \\ &= \left( \frac{1}{nT} \sum_t X_t'X_t \right)^{-1} \left( \frac{1}{nT} \sum_t X_t' \mathbf{y}_i \right) \end{align*}$$ $\mathbf{b}_t = \left(X_t'X_t \right)^{-1}X_t' \mathbf{y}_i$ $$\begin{align*} &= \left( \frac{1}{nT} \sum_t X_t'X_t \right)^{-1} \left( \frac{1}{nT} \sum_t X_t'X_t \mathbf{b}_t \right) \end{align*}$$

Hãy để và là ước tính của chúng tôi về trên toàn bộ mẫu và trong khoảng thời gian tương ứng. Sau đó chúng tôi có:$S = \frac{1}{nT} \sum_i X'X$$S_t = \frac{1}{n} X_t'X_t$$\operatorname{E}[\mathbf{x}\mathbf{x}']$$t$

$$\begin{align*} \hat{\mathbf{b}} &= \frac{1}{T} \sum_t \left( S^{-1} S_t \right) \mathbf{b}_t \end{align*}$$

Đây giống như một mức trung bình của các ước tính cụ thể về thời gian khác nhau , nhưng nó hơi khác một chút. Trong một số ý nghĩa lỏng lẻo, bạn đang tăng thêm trọng lượng cho các khoảng thời gian có phương sai cao hơn của các biến bên phải.$\mathbf{b}_t$

Trường hợp đặc biệt: biến bên phải là bất biến thời gian và cụ thể

Nếu quyền biến ở phía bên tay đối với mỗi công ty đang liên tục theo thời gian (ví dụ cho bất kỳ và ) sau đó cho tất cả và chúng ta sẽ có:$i$$X_{t_1} = X_{t_2}$$t_1$$t_2$$S = S_t$$t$

$$\hat{\mathbf{b}} = \frac{1}{T} \sum_t \mathbf{b}_t$$

Bình luận vui vẻ:

Đây là trường hợp Fama và Macbeth khi họ áp dụng kỹ thuật lấy trung bình các ước tính cắt ngang này để đạt được các lỗi tiêu chuẩn nhất quán khi ước tính mức lợi nhuận kỳ vọng thay đổi theo hiệp phương sai với thị trường (hoặc các yếu tố khác).

Quy trình Fama-Macbeth là một cách trực quan để có được các lỗi tiêu chuẩn nhất quán trong ngữ cảnh bảng điều khiển khi các thuật ngữ lỗi có tương quan cắt ngang nhưng độc lập theo thời gian. Một kỹ thuật hiện đại hơn mang lại kết quả tương tự là phân cụm đúng thời gian.

(Lưu ý: Tôi không có đủ danh tiếng để bình luận, vì vậy tôi sẽ đăng bài này dưới dạng câu trả lời.)

Đối với câu hỏi cụ thể được đặt ra, câu trả lời của fcop là chính xác: phù hợp với mức trung bình giống như tính trung bình của sự phù hợp (ít nhất là đối với bình phương tối thiểu tuyến tính). Tuy nhiên, điều đáng nói là một trong hai cách tiếp cận " trực tuyến " ngây thơ này có thể cho kết quả sai lệch, so với việc phù hợp với tất cả các dữ liệu cùng một lúc. Vì cả hai tương đương nhau, tôi sẽ tập trung vào phương pháp "phù hợp với mức trung bình". Về cơ bản, khớp các đường cong trung bình bỏ qua sự không chắc chắn tương đối trong các giá trị giữa các điểm khác nhau . Ví dụ: nếu , và , thìyxy1[x1]=y2[x1]=2y1[x2]=1y1[x2]=3 ˉ y [x1]= ˉ y [x2]=2$\bar{y}[x]=\langle y[x]\rangle$$y$$x$$y_1[x_1]=y_2[x_1]=2$$y_1[x_2]=1$$y_1[x_2]=3$$\bar{y}[x_1]=\bar{y}[x_2]=2$ , nhưng bất kỳ đường cong phù hợp nào cũng cần quan tâm nhiều hơn về Misfit tại so với .x $x_1$$x_2$

Lưu ý rằng hầu hết các nền tảng phần mềm khoa học nên có các công cụ để tính toán / cập nhật một hình vuông nhỏ nhất "trực tuyến" phù hợp (được gọi là bình phương tối thiểu đệ quy ). Vì vậy, tất cả các dữ liệu có thể được sử dụng (nếu điều này là mong muốn).