Phân phối cho tối đa (tối thiểu) của hai biến ngẫu nhiên bình thường độc lập là gì?

Cụ thể, giả sử và là các biến ngẫu nhiên bình thường (độc lập nhưng không nhất thiết phải phân phối giống hệt nhau). Với bất kỳ cụ thể nào , có một công thức hay cho hoặc các khái niệm tương tự không? Chúng ta có biết rằng \ max (X, Y) thường được phân phối, có thể là một công thức cho độ lệch trung bình và độ lệch chuẩn theo các giá trị của X và Y không? Tôi đã kiểm tra những nơi thông thường (wikipedia, google) nhưng không tìm thấy gì.$X$$Y$$a$$P(\max(X,Y)\leq x)$$\max(X,Y)$$X$$Y$

Tối đa của hai Định mức không giống nhau có thể được biểu thị dưới dạng phân phối Azzalini-Phân phối chuẩn. Xem, ví dụ, một bài báo / bài thuyết trình năm 2007 của Balakrishnan

Một cái nhìn sâu sắc về Thống kê đơn hàng Bivariate và Multivariate
Giáo sư N. Balakrishnan
Tài liệu / bài thuyết trình (2007)

Một bài báo gần đây của ( Nadarajah và Kotz - có thể xem tại đây ) đưa ra một số tính chất của max :$(X,Y)$

Nadarajah, S. và Kotz, S. (2008), "Phân phối chính xác tối đa / tối thiểu của hai biến ngẫu nhiên Gaussian", GIAO DỊCH GIAO DỊCH TRÊN HỆ THỐNG TỔNG HỢP QUY MÔ LỚN (VLSI), VOL. 16, SỐ 2, THÁNG 2 NĂM 2008

Đối với công việc trước đó, xem:

AP Basu và JK Ghosh, Nhận dạng của các bản phân phối đa thường và khác theo mô hình rủi ro cạnh tranh, Hồi J. Multivariate Anal., Vol. 8, trang 413 cường429, 1978

HN Nagaraja và NR Mohan, Nhận về sự độc lập của phân phối cuộc sống hệ thống và nguyên nhân thất bại, Act Scandinavia Actuarial J., trang 188 18819198, 1982.

YL Tong, Phân phối chuẩn nhiều biến. New York: Springer-Verlag, 1990.

Người ta cũng có thể sử dụng hệ thống đại số máy tính để tự động hóa phép tính. Ví dụ: đã cho với pdf và với pdf :$X \sim N(\mu_1, \sigma_1^2)$$f(x)$$Y \sim N(\mu_2, \sigma_2^2)$$g(y)$

... pdf của là:$Z = max(X,Y)$

nơi mà tôi đang sử dụng các Maximumchức năng từ mathStatica gói Mathematica , và Erfbiểu thị hàm lỗi.

Tôi ngạc nhiên rằng trong các câu trả lời trước, thuộc tính thú vị nhất không được đề cập: phân phối xác suất tích lũy cho tối đa là sản phẩm của các phân phối xác suất tích lũy tương ứng.