Nghịch lý tù nhân

11

Tôi được cho một bài tập, và tôi không thể tìm ra nó.

Nghịch lý tù nhân
Ba tù nhân bị biệt giam, A, B và C, đã bị kết án tử hình trong cùng một ngày, nhưng vì có một ngày lễ quốc gia, thống đốc quyết định rằng một người sẽ được ân xá. Các tù nhân được thông báo về điều này nhưng nói rằng họ sẽ không biết ai trong số họ sẽ được tha cho đến ngày được lên kế hoạch cho các vụ hành quyết.

Tù nhân A nói với quản ngục, tôi đã biết rằng ít nhất một trong hai tù nhân khác sẽ bị xử tử, vì vậy nếu bạn cho tôi biết tên của một người sẽ bị xử tử, bạn sẽ không cung cấp cho tôi bất kỳ thông tin nào về vụ xử tử của tôi. .

Quản ngục chấp nhận điều này và nói với anh ta rằng C chắc chắn sẽ chết.

Sau đó, lý do trước khi tôi biết C sẽ bị xử tử, tôi có 1 trong 3 cơ hội được ân xá. Bây giờ tôi biết rằng B hoặc bản thân mình sẽ được ân xá, tỷ lệ cược đã được cải thiện thành 1 trên 2..

Nhưng quản ngục chỉ ra rằng Bạn có thể đã đi đến một kết luận tương tự nếu tôi nói B sẽ chết, và tôi buộc phải trả lời B hoặc C, vậy tại sao bạn cần phải hỏi?

Cơ hội nhận được ân xá của A là gì và tại sao? Xây dựng một lời giải thích sẽ thuyết phục người khác rằng bạn đúng.

Bạn có thể giải quyết điều này bằng định lý Bayes, bằng cách vẽ một mạng lưới niềm tin, hoặc theo lẽ thường. Bất kỳ cách tiếp cận nào bạn chọn sẽ giúp bạn hiểu sâu hơn về khái niệm đơn giản về xác suất có điều kiện.

Đây là phân tích của tôi:

Điều này trông giống như vấn đề Monty Hall , nhưng không hoàn toàn. Nếu A nói I change my place with Bsau khi anh ta nói C sẽ chết, anh ta có 2/3 cơ hội được cứu. Nếu anh ta không, thì tôi sẽ nói cơ hội của anh ta là 1/3, như khi bạn không thay đổi lựa chọn của mình trong vấn đề Monty Hall. Nhưng đồng thời, anh ta ở trong một nhóm gồm 2 người, và một người nên chết, vì vậy thật hấp dẫn khi nói rằng cơ hội của anh ta là 1/2.

Vì vậy, nghịch lý vẫn còn ở đây, làm thế nào bạn sẽ tiếp cận điều này. Ngoài ra, tôi không biết làm thế nào tôi có thể tạo ra một mạng lưới niềm tin về điều này, vì vậy tôi rất thích nhìn thấy điều đó.

probability self-study

— Benjamin Crouzier
nguồn

2

"Anh ấy ở trong một nhóm gồm 2 người" không ngụ ý "cơ hội của anh ấy là 1/2"

— Henry

8

Ban đầu có ba khả năng với xác suất bằng nhau:

A sẽ được trả tự do (Prob ) $1/3$
B sẽ được giải phóng (Prob ) $1/3$
C sẽ được giải phóng (Prob ) $1/3$

Với lời hứa của thông điệp, có bốn khả năng với các xác suất khác nhau:

A sẽ được trả tự do và A được nói với B sẽ được thực hiện (Prob ) $1/6$
A sẽ được trả tự do và A được nói với C sẽ được thực hiện (Prob ) $1/6$
B sẽ được trả tự do và A được nói với C sẽ được thực hiện (Prob ) $1/3$
C sẽ được trả tự do và A được nói với B sẽ được thực hiện (Prob ) $1/3$

Có điều kiện trên "A được nói C sẽ được thực thi" điều này trở thành

A sẽ được trả tự do và A được nói với C sẽ được thực hiện (Prob ) $1/3$
B sẽ được trả tự do và A được nói với C sẽ được thực hiện (Prob ) $2/3$

$2/3$

— Henry
nguồn

1

A muốn trao đổi với B là chìa khóa. Để có một trong những lời giải thích chung của Monty Hall: Hãy tưởng tượng có 1000 tù nhân: Một người quản ngục đưa cho anh ta 998 tên. Rõ ràng chúng ta đã học được rất nhiều về một anh chàng không phải là A và không được nêu tên . Nhưng chúng tôi đã không tìm hiểu gì về Một .

— Ben Jackson

Tôi nghĩ ở vị trí của A, đó là một chiến lược rất tốt để anh ta hỏi người bảo vệ này. Sau đó, nói chuyện với B và hỏi nếu anh ta muốn chuyển đổi. Nếu anh ta đồng ý, các bạn có thể hỏi những kẻ hành quyết nếu, nếu một trong hai người được giải thoát, thì hãy giải thoát người kia. Từ quan điểm của B, tỷ lệ cược của anh ta không thay đổi, vì vậy không có lý do gì để anh ta nói không (hoặc nói có, vì vậy đó là vấn đề áp lực vào thời điểm đó)

— Cruncher

8

Tôi nghĩ rằng bạn đang suy nghĩ quá mức về vấn đề - đó là một vấn đề Monty Hall và áp dụng logic tương tự.

— babelproofreader
nguồn

Bạn có thể phát triển? Tôi quan tâm bởi lý do, không phải câu trả lời

— Benjamin Crouzier

1

@pinouchon: Jailer là Monty Hall và Prisoner A là người chơi. Chết là tương tự như có được một con dê; được ân xá tương tự như nhận được giải thưởng. Bây giờ bạn có thể dịch trực tiếp bất kỳ lời giải thích nào về vấn đề Monty Hall mà bạn thích: bao gồm rất nhiều lý do. +1 cho babelproofreader để chỉ ra điều này.

— whuber

Làm thế nào bạn sẽ tranh luận chống lại tuyên bố này : But at the same time, he is in a group of 2 guys, and one should die, so it is tempting to say that his chances are 1/2.. Còn mạng lưới niềm tin thì sao?

— Benjamin Crouzier

1

@Pinouchon Sẽ là xây dựng để chỉnh sửa câu hỏi của bạn để tập trung vào khía cạnh mạng niềm tin. Vấn đề Monty Hall đã được thảo luận cho đến chết ở nhiều nơi, vì vậy tôi thấy không có điểm nào trong việc làm lại tài liệu đó ở đây.

— whuber

Tôi đồng ý rằng vấn đề Monty Hall đã được thảo luận cho đến chết nhưng mặc dù các xác nhận của babelproof và người nuôi dưỡng, tôi không thấy tù nhân A được chuyển nơi nào. Nếu quản ngục có ba phong bì dán kín, một phong bì có ân xá và hai phong án tử hình, A chọn một phong bì, và quản ngục mở một phong bì khác (chính xác là tôi đã đưa ra một câu trả lời riêng) và cho thấy rằng nó có bản án tử hình, và sau đó hỏi A "Bạn có muốn giữ phong bì bạn đã chọn hoặc bạn muốn chuyển đổi?" Tôi có thể thấy sự tương tự

— Dilip Sarwate

3

$A$ $P(A) = \frac{1}{3}$ $B$

$P(B \mid A) = 1$ $P(B \mid A^c) = 0$ $P (B) = P (B ∣ A) P (A) + P (B ∣ A^{c}) P (A^{c}) = 1 \times \frac{1}{3} + 0 \times \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$ $P(B) = P(B \mid A)P(A) + P(B \mid A^c)P(A^c) = 1 \times \frac{1}{3} + 0\times \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$
$P(B \mid A) = 0$ $P(B \mid A^c) = 1$ $P (B) = P (B ∣ A) P (A) + P (B ∣ A^{c}) P (A^{c}) = 0 \times \frac{1}{3} + 1 \times \frac{2}{3} = \frac{2}{3}$ $P(B) = P(B \mid A)P(A) + P(B \mid A^c)P(A^c) = 0 \times \frac{1}{3} + 1\times \frac{2}{3} = \frac{2}{3}$

$B$

$1$ $3$ bất kể Monty có mở một cánh cửa không để lộ con dê hay không, hay quản ngục nói với A rằng C sẽ bị xử tử, hoặc không, chính xác như Henry đã tính toán chi tiết.

— Dilip Sarwate
nguồn

Tôi nghĩ rằng chúng ta có thể cho rằng quản ngục có thông tin đó, nếu không thì vấn đề không đáng để lý luận (nếu quản ngục có xác suất nói dối không xác định, thì họ cũng có thể không nói gì). Về điểm đầu tiên của bạn: chắc chắn, kết quả khác với vấn đề Monty Hall vì không có tùy chọn để chuyển đổi. Nhưng logic là như nhau: bằng cách tiết lộ một tùy chọn không phải là người chiến thắng, thông tin được cung cấp về một tùy chọn khác mà quản ngục / Monty có thể đã chọn.

— Ruben van Bergen

2

Câu trả lời phụ thuộc vào cách quản ngục chọn tên tù nhân nào khi anh ta biết rằng A sẽ được ân xá. Hãy xem xét hai quy tắc:

1) Quản ngục chọn ngẫu nhiên giữa B và C, và tình cờ nói C trong trường hợp này. Sau đó, cơ hội được ân xá của A là 1/3.

2) Quản ngục luôn nói C. Sau đó, cơ hội được ân xá của A là 1/2.

Tất cả những gì chúng tôi được nói là quản ngục nói C, vì vậy chúng tôi không biết những quy tắc nào anh ấy tuân theo. Trong thực tế, có thể có các quy tắc khác - có lẽ quản ngục lăn một cái chết và chỉ nói C nếu anh ta lăn 6 cái.

— Ringold
nguồn

1

Như được chỉ ra bởi những người khác, vấn đề ba tù nhân là một sự tái hiện của Monty Hall. Để biết thêm thông tin, hãy xem phần 1.7 của bài viết này http://facemony.winthrop.edu/abernathyk/Monty%20Hall%20Pro Hiệu.pdf

— thiền học
nguồn

0

Hãy tưởng tượng rằng quản ngục nói với A rằng C chắc chắn sẽ chết. Và sau đó anh ta nói với B rằng C chắc chắn sẽ chết. Rõ ràng trong trường hợp này, A và B có 50% mỗi người được ân xá. Nhưng sự khác biệt giữa hai phiên bản là gì?

— gach
nguồn

0

$1/2$ $2/3$

$A$ $B$ $C$ $J$ $J^c$

$P(A|J) = P(J|A)P(A)/P(J)$

$P(J|A) = \frac{1}{2}$

P (A | J) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} / \frac{1}{2} = \frac{1}{3}

$P(A|J) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} / \frac{1}{2} = \frac{1}{3}$

$P(J|A) = 1$ $P(J|C) = 1$ $P(J|B) = 0$

P (J) = P (J | B) P (B) + P (J | B^{c}) P (B^{c}) = 0 \times \frac{1}{3} + 1 \times \frac{2}{3} = \frac{2}{3}

$P(J) = P(J|B)P(B) + P(J|B^c)P(B^c) = 0\times\frac{1}{3} + 1\times\frac{2}{3} = \frac{2}{3}$

P (A | J) = 1 \times \frac{1}{3} / \frac{2}{3} = \frac{1}{2}

$P(A|J) = 1 \times \frac{1}{3} / \frac{2}{3} = \frac{1}{2}$

— Mikhail Volkhov
nguồn

1

Không phải "luôn luôn đặt tên Carl khi có thể" có hợp lý như "luôn luôn đặt tên Bob khi có thể" không?

— Juho Kokkala

Có, chiến lược S '= "luôn luôn đặt tên Carl nếu có thể" phải hoàn toàn tương đương nếu chúng ta xác định lại J phù hợp. Nếu chúng ta rời khỏi J và bắt buộc quản ngục phải theo S ', nó sẽ khiến mọi thứ được xác định trước: bất cứ khi nào J (quản ngục nói Bob), chúng ta biết rằng không thể nói "Carl", do đó Carl đã được ân xá .

— Mikhail Volkhov

-1

Sau khi nhận được thông tin, tù nhân C sẽ chết, cơ hội của anh ta thay đổi thành 1/2, nhưng chỉ vì cơ hội mà anh ta nhận được thông tin đó đã là 2/3 (khả năng 1/3 tù nhân C nhận được ân xá đã bị loại bỏ )

Và 2/3 * 1/2 là xác suất ban đầu để được giải thoát.

Thuyết phục hơn là cách tiếp cận đối lập:

Giả sử, anh ta được thông báo rằng tù nhân C sẽ được ân xá.
Cơ hội của anh ta không bị giết là gì?
Mọi người sẽ thừa nhận rằng cơ hội của anh ta bằng không, giả sử quản ngục không nói dối và chỉ có một ân xá.

Lần này, anh ta có cơ hội 1/1, vì cơ hội cho thông tin đó đã là 1/3.

— Sunzi
nguồn

Điều này LAF không đúng; xem tính toán trong câu trả lời của Henry cho thấy sau khi nghe thông tin của tù nhân, tù nhân A có 2/3 cơ hội chết (không phải 1/2). Đây là cùng một xác suất mà anh ta có trước đây, vì vậy, quản ngục đã đúng: những gì anh ta nói với A đã không thay đổi bất cứ điều gì cho tỷ lệ sống của A. Nếu B đang lắng nghe, bây giờ anh ta sẽ biết cơ hội chết của mình đã giảm xuống còn 1/3.

— Ruben van Bergen