Skewness, kurtosis và có bao nhiêu giá trị độ lệch chuẩn so với giá trị trung bình

Như đã biết với phân phối chuẩn, 68% khối lượng xác suất nằm trong một độ lệch chuẩn của giá trị trung bình, 95% trong hai độ lệch chuẩn và 99,7% trong 3 độ lệch chuẩn.

Tuy nhiên, tôi có một số phân phối theo kinh nghiệm là leptokurtic và tiêu cực sai lệch. Trong trường hợp như vậy, có một công thức dựa trên các khoảnh khắc bậc cao hơn của chúng để tính toán khối lượng xác suất nằm trong bao nhiêu độ lệch chuẩn của giá trị trung bình không?

Tôi có một phép đo và muốn đưa ra một số ý nghĩa về khoảng cách từ điểm giữa (trung bình hoặc một số biện pháp khác của xu hướng trung tâm).

Điều này có thể được thực hiện?

Bạn luôn có thể tính toán có bao nhiêu giá trị SD từ giá trị trung bình bằng cách chỉ cắm vào các giá trị mẫu, (giá trị trung bình) / SD, sau đó đóng gói và đếm.$-$

Các sự kiện số chính xác như bạn trích dẫn cho bình thường (Gaussian) nói chung phụ thuộc vào việc biết một hoặc nhiều hàm mật độ, phân phối hoặc định lượng, bằng số nếu không phân tích.

Tuy nhiên, không có mối quan hệ chung nào chỉ có thể biết về sự sai lệch hoặc kurtosis. Skewness và kurtosis không xác định hình thức phân phối nói chung, vì những khoảnh khắc cao hơn cũng có thể thay đổi.

Dưới đây là một câu trả lời chính xác cho thấy độ lệch tuyệt đối trung bình so với giá trị trung bình không nhất thiết liên quan đến kurtosis.

Hãy xem xét các gia đình của các bản phân phối của , nơi Z có sự phân bố rời rạc$X = \mu + \sigma Z$$Z$

, với xác suất (wp)$Z = -0.5$$.25$

, wp$= +0.5$$.25$

, wp .25 - θ /$= -1.2$$.25 - \theta/2$

, wp .25 - θ /$= +1.2$$.25 - \theta/2$

, wpθ/$= -\sqrt{0.155/\theta + 1.44}$$\theta/2$

, wpθ/2.$= +\sqrt{0.155/\theta + 1.44}$$\theta/2$

Gia đình của các bản phân phối của được lập chỉ mục bởi ba thông số: μ , σ , và θ , với dãy ( - ∞ , + ∞ ) , ( 0 , + ∞ ) và ( 0 , 0,5 ) .$X$$\mu$$\sigma$$\theta$$(-\infty, +\infty)$$(0, +\infty)$$(0,.5)$

Trong gia đình này, , V một r ( X ) = σ 2 , và độ lệch tuyệt đối trung bình từ giá trị trung bình là 0,5 σ .$E(X) = \mu$$Var(X) = \sigma^2$$0.5\sigma$

Kurtosis của như sau:$X$

nhọn .$= E(Z^4) = .5^4 * .5 + 1.2^4 * (.5 - \theta) + (0.155/\theta + 1.44)^2 * \theta$

Trong gia đình này,

(i) kurtosis có xu hướng vô cùng là .$\theta \rightarrow 0$

(ii) sự phân bố trong "vai" (ví dụ, trong range) là hằng số cho tất cả các giá trị của nhọn; nó chỉ đơn giản là hai điểm L ± σ / 2 , wp 0.25 mỗi. Điều này cung cấp một ví dụ cho một cách giải thích về kurtosis, trong đó tuyên bố rằng sự tổn thương lớn hơn bao hàm sự di chuyển của khối ra khỏi vai, đồng thời vào phạm vi giữa vai và vào đuôi.$\mu \pm \sigma$$\mu \pm \sigma/2$$0.25$

$\mu \pm \sigma/2$$0.25$

$\mu \pm 1.2\sigma$$\mu \pm 0.5\sigma$$0.25$

$0.5\sigma$