Phân phối không bình thường với độ lệch bằng không và độ nhiễu quá mức?

Chủ yếu là câu hỏi lý thuyết. Có ví dụ nào về các bản phân phối không bình thường có bốn khoảnh khắc đầu tiên bằng với các bản phân phối bình thường không? Họ có thể tồn tại trong lý thuyết?

Có, các ví dụ với độ lệch và độ nhiễu quá mức cả hai đều tương đối dễ xây dựng. (Các ví dụ thực tế (a) đến (d) bên dưới cũng có độ lệch trung bình trung bình Pearson 0)

(a) Ví dụ, trong câu trả lời này, một ví dụ được đưa ra bằng cách lấy hỗn hợp 50-50 của biến thiên gamma, (mà tôi gọi là ) và âm của cái thứ hai, có mật độ giống như sau:$X$

Rõ ràng kết quả là đối xứng và không bình thường. Tham số tỷ lệ là không quan trọng ở đây, vì vậy chúng ta có thể làm cho nó 1. Lựa chọn cẩn thận tham số hình dạng của gamma mang lại sự kurtosis cần thiết:

1. Phương sai của gamma kép ( ) này rất dễ để tìm ra phương sai của gamma dựa trên: .$Y$$\text{Var}(Y)=E(X^2)=\text{Var}(X)+E(X)^2=\alpha+\alpha^2$

2. Khoảnh khắc trung tâm thứ tư của biến giống với , đối với gamma ( ) là$Y$$E(X^4)$$\alpha$$\alpha(\alpha+1)(\alpha+2)(\alpha+3)$

Kết quả là sự suy yếu là . Đây là khi , xảy ra khi .$\frac{\alpha(\alpha+1)(\alpha+2)(\alpha+3)}{\alpha^2(\alpha+1)^2}=\frac{(\alpha+2)(\alpha+3)}{\alpha(\alpha+1)}$$3$$(\alpha+2)(\alpha+3)=3\alpha(\alpha+1)$$\alpha=(\sqrt{13}+1)/2\approx 2.303$

(b) Chúng tôi cũng có thể tạo một ví dụ dưới dạng hỗn hợp tỷ lệ của hai đồng phục. Đặt và để và để . Rõ ràng bằng cách xem xét rằng là đối xứng và có phạm vi hữu hạn, chúng ta phải có ; độ lệch cũng sẽ là 0 và khoảnh khắc trung tâm và khoảnh khắc thô sẽ giống nhau.$U_1\sim U(-1,1)$$U_2\sim U(-a,a)$$M=\frac12 U_1+\frac12 U_2$$M$$E(M)=0$

$\text{Var}(M)=E(M^2)=\frac12\text{Var}(U1)+\frac12\text{Var}(U_2)=\frac16[1+a^2]$ .

Tương tự, và do đó, kurtosis là$E(M^4)=\frac{1}{10} (1+a^4)$$\frac{\frac{1}{10} (1+a^4)}{[\frac16 (1+a^2)]^2}=3.6\frac{1+a^4}{(1+a^2)^2}$

Nếu chúng ta chọn , thì kurtosis là 3 và mật độ trông như thế này:$a=\sqrt{5+\sqrt{24}}\approx 3.1463$

(c) đây là một ví dụ thú vị. Đặt , với .$X_i\stackrel{_\text{iid}}{\sim}\text{Pois}(\lambda)$$i=1,2$

Đặt là hỗn hợp 50-50 của và :$Y$$\sqrt{X_1}$$-\sqrt{X_2}$

bởi đối xứng (chúng ta cũng cần là hữu hạn nhưng với là hữu hạn, chúng ta có điều đó)$E(Y)=0$$E(|Y|)$$E(X_1)$

$Var(Y)=E(Y^2)=E(X_1)=\lambda$

bằng cách đối xứng (và thực tế là khoảnh khắc thứ 3 tuyệt đối tồn tại) skew = 0

Khoảnh khắc thứ 4:$E(Y^4) = E(X_1^2) = \lambda+\lambda^2$

kurtosis =$\frac{\lambda+\lambda^2}{\lambda^2}= 1+1/\lambda$

vì vậy khi , kurtosis là 3. Đây là trường hợp được minh họa ở trên.$\lambda=\frac12$

(d) tất cả các ví dụ của tôi cho đến nay đều đối xứng, vì các câu trả lời đối xứng dễ tạo hơn - nhưng cũng có thể có các giải pháp bất đối xứng. Đây là một ví dụ riêng biệt.

Như bạn thấy, không có ví dụ nào trong số này trông đặc biệt "bình thường". Nó sẽ là một vấn đề đơn giản để thực hiện bất kỳ số lượng các biến rời rạc, liên tục hoặc hỗn hợp có cùng thuộc tính. Mặc dù hầu hết các ví dụ của tôi được xây dựng dưới dạng hỗn hợp, nhưng không có gì đặc biệt về hỗn hợp, ngoài việc chúng thường là một cách thuận tiện để phân phối với các thuộc tính theo cách bạn muốn, giống như xây dựng mọi thứ bằng Lego.

Câu trả lời này cung cấp một số chi tiết bổ sung về kurtosis sẽ làm cho một số cân nhắc liên quan đến việc xây dựng các ví dụ khác rõ ràng hơn một chút.

Bạn có thể kết hợp nhiều khoảnh khắc hơn trong thời trang tương tự, mặc dù nó đòi hỏi nhiều nỗ lực hơn để làm điều đó. Tuy nhiên, vì MGF của bình thường tồn tại, bạn không thể khớp tất cả các khoảnh khắc số nguyên của bình thường với một số phân phối không bình thường, vì điều đó có nghĩa là MGF của chúng khớp với nhau, ngụ ý phân phối thứ hai cũng bình thường.

Điểm tốt được thực hiện bởi Glen_b. Tôi sẽ chỉ xem xét thêm chức năng Dirac Delta như là một công cụ bổ sung cho nhà máy. Như Wikipedia lưu ý, "DDF là một hàm tổng quát hoặc phân phối, trên dòng số thực ở mọi nơi trừ 0, với tích phân của một trên toàn bộ dòng thực" với kết quả là tất cả các khoảnh khắc cao hơn của DDF đều số không.

Paul Dirac áp dụng nó cho cơ học lượng tử trong cuốn sách năm 1931 của ông Nguyên tắc cơ học lượng tử nhưng nguồn gốc của nó bắt nguồn từ Fourier, Lesbesgue, Cauchy và những người khác. DDF cũng có các chất tương tự vật lý trong việc mô hình hóa phân phối, ví dụ, về vết nứt của một con dơi đánh một quả bóng chày.