Khi tham số lại một hàm khả năng, chỉ cần cắm vào biến được chuyển đổi thay vì thay đổi công thức biến?

Giả sử rằng tôi đang cố gắng tái tham số một hàm khả năng được phân phối theo cấp số nhân. Nếu chức năng khả năng ban đầu của tôi là:

$$p(y \mid \theta) = \theta e^{-\theta y}$$

và tôi muốn tham số lại nó bằng cách sử dụng , vì không phải là một biến ngẫu nhiên, nhưng một tham số, chỉ cần bổ trợ là đủ?$\phi = \frac{1}{\theta}$$\theta$

Ý tôi là rõ ràng là:

$$p\left(y \mid \phi = \frac{1}{\theta}\right) = \frac{1}{\phi} e^{-\frac{1}{\phi} y}$$

Nếu vậy, tôi không chắc lý thuyết đằng sau điều này là gì. Hiểu biết của tôi là hàm khả năng là một hàm của tham số, vậy tại sao tôi không cần sử dụng thay đổi công thức biến làm tôi bối rối. Bất kỳ trợ giúp sẽ được thực sự đánh giá cao, cảm ơn!

Bạn không cần Jacobian trong biến đổi của mình vì đó là phân phối xác suất trên , không phải trên . Nó phải tích hợp với một trong , cho dù bạn sử dụng hay : Chỉ khi bạn bao gồm một biện pháp (Bayes) trên thì Jacobian mới xuất hiện. Nghĩa là, nếu là trước , thì mật độ sau của là và mật độ sau của là $y$$\theta$$y$$\theta$$\phi$

$$\int p(y|\theta)\text{d}y = \int p(y|\phi)\text{d}y = 1$$ $\theta$$p(\theta)$$\theta$$\theta$ $$p(\theta|y)\propto p(\theta) p(y|\theta)$$ $\phi$ $$p(\phi|y)\propto p(y|\phi)p(\phi)=p(y|\theta(\phi))p(\theta(\phi))\left|\frac{\partial \theta}{\partial \phi}\right|\propto p(\theta(\phi)|y)\left|\frac{\partial \theta}{\partial \phi}\right|$$ liên quan đến Jacobian.$\left|\frac{\partial \theta}{\partial \phi}\right|$