Tập hợp các biến không phụ thuộc nhưng tuyến tính

9

Có thể có một tập hợp các biến không tương quan nhưng phụ thuộc tuyến tính không? $K$

tức là và $cor(x_i, x_j)=0$ $\sum_{i=1}^K a_ix_i=0$

Nếu có bạn có thể viết một ví dụ?

EDIT: Từ các câu trả lời theo sau nó là không thể.

Ít nhất có thể là trong đó là hệ số tương quan ước tính được ước tính từ mẫu của các biến và là một biến không tương quan với . $\mathbb{P}(|\hat \rho_{x_i, x_j}-\hat \rho_{x_i, v}|<\epsilon)$ $\hat\rho$ $n$ $v$ $x_i$

Tôi đang suy nghĩ một cái gì đó như $x_K=\dfrac{1}{K} \sum_{i=1}^{K-1} x_i$ $K>>0$

correlation mathematical-statistics multicollinearity

— Donbeo
nguồn

11

Như câu trả lời của @ RUser4512 cho thấy, các biến ngẫu nhiên không tương quan không thể phụ thuộc tuyến tính. Nhưng, các biến ngẫu nhiên gần như không tương quan có thể bị phụ thuộc tuyến tính, và một ví dụ trong số này là một cái gì đó thân thuộc với trái tim của nhà thống kê.

Giả sử rằng là một tập hợp các biến ngẫu nhiên phương sai đơn vị không tương quan với trung bình chung . Xác định trong đó . Sau đó, là các biến ngẫu nhiên có nghĩa là 0 sao cho , nghĩa là chúng phụ thuộc tuyến tính. Bây giờ, sao cho trong khi cho thấy rằng $\{X_i\}_{i=1}^K$ $K$ $\mu$ $Y_i = X_i - \bar{X}$ $\bar{X} = \frac 1K \sum_{i=1}^K X_i$ $Y_i$ $\sum_{i=1}^K Y_i = 0$

Y_{i} = \frac{K - 1}{K} X_{i} - \frac{1}{K} \sum_{j \neq i} X_{j}

$Y_i = \frac{K-1}{K} X_i - \frac 1K\sum_{j \neq i}X_j$

var (Y_{i}) = {(\frac{K - 1}{K})}^{2} + \frac{K - 1}{K^{2}} = \frac{K - 1}{K}

$\operatorname{var}(Y_i) = \left(\frac{K-1}{K}\right)^2+\frac{K-1}{K^2} = \frac{K-1}{K}$

cov (Y_{i}, Y_{j}) = - 2 (\frac{K - 1}{K}) \frac{1}{K} + \frac{K - 2}{K^{2}} = \frac{- 1}{K}

$\operatorname{cov}(Y_i,Y_j) = -2\left(\frac{K-1}{K}\right)\frac 1K + \frac{K-2}{K^2}= \frac{-1}{K}$

Y_{i}

$Y_i$ là các biến ngẫu nhiên gần như không tương quan với hệ số tương quan .

- \frac{1}{K - 1}

$\displaystyle -\frac{1}{K-1}$

Xem thêm câu trả lời trước đó của tôi.

— Dilip Sarwate
nguồn

1

Đây là một ví dụ thực sự tốt đẹp!

— RUser4512

9

Không.

Giả sử một trong số khác không. Không mất tính tổng quát, hãy giả sử . $a_i$ $a_1=1$

Với , điều này hàm ý và . Nhưng mối tương quan này bằng không. cũng phải bằng 0, mâu thuẫn với sự tồn tại của mối quan hệ tuyến tính. $K=2$ $x_1=-a_2x_2$ $cor(x_1,x_2)=-1$ $a_1$

Với mọi , và . Nhưng, theo giả thuyết của bạn, . Các bằng 0 (đối với ) và do đó phải là . $K$ $x_1=-\sum_{i>1}a_ix_i$ $cor(x_1,x_k)=-1$ $cor(x_1,x_k)=0$ $a_i$ $i>1$ $a_1$

— RUser4512
nguồn

Trong trường hợp các vectơ gaussian, bạn thậm chí có một bằng chứng một dòng (mà tôi thích giữ như một nhận xét). Tương quan bằng 0 ngụ ý độc lập. ngụ ý và bạn đã hoàn thành.

\sum_{i} a_{i} x_{i} = 0

$\sum_i a_ix_i =0$

\sum_{i} a_{i}^{2} = 0

$\sum_i a_i^2 =0$

— RUser4512

Câu trả lời rất hay. Sẽ thật tuyệt nếu bạn cũng có thể trả lời câu hỏi đã chỉnh sửa.

— Donbeo 1/10/2015

Câu hỏi được chỉnh sửa khó hơn nhiều;) Tôi giả sử rằng và đề cập đến cùng một điều? Tôi không thấy điểm của yếu tố 1 / K, nếu bạn đang tìm kiếm một mối tương quan, nó sẽ không thay đổi bất cứ điều gì đến kết quả cuối cùng

v

$v$

x_{K}

$x_K$

— RUser4512

1 / K đã được yêu cầu để làm cho .

c o r (x_{K}, x_{i}) = 1 / K

$cor(x_K, x_i)=1/K$

— Donbeo

4

Điều này có thể gian lận một chút, nhưng nếu chúng ta định nghĩa 'không tương quan' là có hiệp phương sai bằng 0, câu trả lời là có . Đặt và đều bằng 0 với xác suất 1. Sau đó $X$ $Y$

$\mathop{\mathrm{Cov}}(X,Y)= \mathop{\mathrm{E}}(XY)-\mathop{\mathrm{E}}(X)\mathop{\mathrm{E}}(Y)=0-0=0$

trong khi , do đó và phụ thuộc tuyến tính (theo định nghĩa của bạn). $X+Y=0$ $X$ $Y$

Mặc dù nếu bạn yêu cầu rằng mối tương quan được xác định, nghĩa là phương sai của cả và đều dương, nhưng không thể tìm thấy các biến đáp ứng tiêu chí của bạn (xem các câu trả lời khác). $X$ $Y$

— Karl Ove Hufthammer
nguồn