Cái gì là 'khoảnh khắc' về 'khoảnh khắc' của phân phối xác suất?

Tôi BIẾT khoảnh khắc là gì và cách tính toán chúng và cách sử dụng chức năng tạo khoảnh khắc để có được những khoảnh khắc có thứ tự cao hơn. Vâng, tôi biết toán học.

Bây giờ tôi cần phải bôi trơn kiến ​​thức thống kê cho công việc, tôi nghĩ tôi cũng có thể hỏi câu hỏi này - nó đã cằn nhằn tôi khoảng vài năm và trở lại trường đại học, không giáo sư nào biết câu trả lời hoặc sẽ bỏ qua câu hỏi (thành thật) .

Vậy từ "khoảnh khắc" này có nghĩa gì trong trường hợp này? Tại sao sự lựa chọn từ này? Nó không nghe có vẻ trực quan đối với tôi (hoặc tôi chưa bao giờ nghe thấy điều đó khi quay lại trường đại học :) Nghĩ về điều đó tôi cũng tò mò không kém với cách sử dụng nó trong "khoảnh khắc quán tính";) nhưng bây giờ chúng ta không tập trung vào điều đó.

Vậy một "khoảnh khắc" của một bản phân phối có ý nghĩa gì và nó tìm cách làm gì và tại sao R wordNG từ đó! :) Tại sao có ai quan tâm đến khoảnh khắc? Tại thời điểm này tôi cảm thấy khác về thời điểm đó;)

Tái bút: Có, tôi có thể đã hỏi một câu hỏi tương tự về phương sai nhưng tôi đánh giá cao sự hiểu biết trực quan qua 'tìm trong cuốn sách để tìm hiểu' :)

Theo bài báo "Lần đầu tiên (?) Xuất hiện các thuật ngữ phổ biến trong thống kê toán học" của HA David, lần đầu tiên sử dụng từ 'khoảnh khắc' trong tình huống này là trong một lá thư năm 1893 gửi cho thiên nhiên của Karl Pearson với tựa đề "Đường cong tần số bất đối xứng" .

Bài báo Biometrika năm 1938 của Neyman "Một ghi chú lịch sử về việc khấu trừ các khoảnh khắc của nhị phân của Karl Pearson" đưa ra một bản tóm tắt tốt về bức thư và tác phẩm tiếp theo của Pearson về những khoảnh khắc phân phối nhị thức và phương pháp của những khoảnh khắc. Đó là một bài đọc thực sự tốt. Hy vọng rằng bạn đã truy cập JSTOR vì tôi không có thời gian để đưa ra một bản tóm tắt tốt về bài báo (mặc dù tôi sẽ làm vào cuối tuần này). Mặc dù tôi sẽ đề cập đến một phần có thể cung cấp cái nhìn sâu sắc về lý do tại sao thuật ngữ 'khoảnh khắc' được sử dụng. Từ bài báo của Neyman:

$\alpha$

Đây là những gì cuối cùng đã dẫn đến 'phương pháp của khoảnh khắc.' Neyman đi qua dẫn xuất của Pearson về những khoảnh khắc nhị thức trong bài báo trên.

Và từ thư của Pearson:

$s^{\text{th}}$$d = c(1 + nq)$

Điều này gợi ý rằng Pearson đã sử dụng thuật ngữ 'khoảnh khắc' như một từ ám chỉ 'khoảnh khắc quán tính', một thuật ngữ phổ biến trong vật lý.

Đây là bản quét của hầu hết thư tự nhiên của Pearson :

Bạn có thể xem toàn bộ bài viết ở trang 615 tại đây .

Mọi người đều có khoảnh khắc của nó trên khoảnh khắc. Tôi đã có tên của tôi trong Cumulant và những cái tên thời điểm vượt ra ngoài phương sai, sai lệch và kurtosis , và dành một chút thời gian để đọc chủ đề hay ho này.

Điều kỳ lạ là tôi không tìm thấy "đề cập đến khoảnh khắc" trong bài báo của HA David. Vì vậy, tôi đã tìm đến Karl Pearson: Cuộc sống khoa học trong thời đại thống kê , một cuốn sách của TM Porter và Karl Pearson và Nguồn gốc của thống kê hiện đại: Một người đàn hồi trở thành một nhà thống kê . Chẳng hạn, ông đã chỉnh sửa Lịch sử lý thuyết đàn hồi và sức mạnh của vật liệu từ Galilei đến thời hiện tại .

Bối cảnh của anh ta rất rộng, và anh ta đáng chú ý là một giáo sư kỹ thuật và đàn hồi, người đã tham gia vào việc xác định các thời điểm uốn của nhịp cầu và tính toán các ứng suất trên các đập xây. Trong độ đàn hồi, người ta chỉ quan sát những gì đang xảy ra (vỡ) một cách hạn chế. Anh ta có vẻ thích thú (từ cuốn sách của Porter):

tính toán đồ họa hoặc, ở dạng trang nghiêm và toán học nhất, thống kê đồ họa.

Một lát sau :

Từ khi bắt đầu sự nghiệp thống kê và thậm chí trước đó, anh ấy phù hợp với những đường cong bằng cách sử dụng "phương pháp của những khoảnh khắc". Trong cơ học, điều này có nghĩa là khớp một cơ thể phức tạp với một cơ thể đơn giản hoặc trừu tượng có cùng trọng tâm khối lượng và "bán kính xoay", tương ứng là khoảnh khắc thứ nhất và thứ hai. Các đại lượng này tương ứng trong thống kê với giá trị trung bình và độ phân tán hoặc độ phân tán của các phép đo xung quanh giá trị trung bình.

Và kể từ khi:

Pearson xử lý trong các khoảng thời gian đo rời rạc, đây là một tổng chứ không phải là một tích phân

Khoảnh khắc quán tính có thể đại diện cho một bản tóm tắt của một cơ thể đang chuyển động: việc tính toán có thể được thực hiện như thể cơ thể bị giảm xuống một điểm.

Pearson thiết lập năm đẳng thức này như một hệ phương trình, kết hợp thành một trong mức độ thứ chín. Một giải pháp số chỉ có thể bằng các xấp xỉ liên tiếp. Có thể có đến chín giải pháp thực sự, mặc dù trong trường hợp hiện tại chỉ có hai giải pháp. Ông đã vẽ đồ thị cả hai kết quả cùng với bản gốc, và nói chung rất hài lòng với sự xuất hiện của kết quả. Tuy nhiên, ông không dựa vào kiểm tra trực quan để quyết định giữa họ, nhưng đã tính đến giây phút thứ sáu để quyết định trận đấu hay nhất

Chúng ta hãy quay trở lại vật lý. Khoảnh khắc là một đại lượng vật lý có tính đến sự sắp xếp cục bộ của một thuộc tính vật lý, thường liên quan đến một điểm hoặc trục thứ tự nhất định (theo cách cổ điển trong không gian hoặc thời gian). Nó tóm tắt các đại lượng vật lý được đo ở một khoảng cách từ một tham chiếu. Nếu số lượng không tập trung tại một điểm, thời điểm đó được "tính trung bình" trên toàn bộ không gian, bằng phương pháp tích phân hoặc tổng.

Rõ ràng, khái niệm về các khoảnh khắc có thể bắt nguồn từ việc khám phá nguyên lý hoạt động của đòn bẩy "được phát hiện" bởi Archimedes. Một trong những sự xuất hiện đầu tiên được biết đến là từ "Latinorum" trong tiếng Latin với nghĩa được chấp nhận hiện tại (khoảnh khắc về một trung tâm của vòng quay). Năm 1565, Federico Commandino đã dịch tác phẩm của Archimedes (Liber de Centro Gravitatis Solidorum) là:

Trọng tâm của mỗi hình rắn là điểm bên trong nó, về phần trên tất cả các mặt của thời điểm bằng nhau.

hoặc là

Centrum gravitatis uniuscuiusque solidae figurae est puncum illud int positum, Circa quod undique partes aequalium khoảnhorum

Vì vậy, rõ ràng, sự tương tự với vật lý là khá mạnh: từ một hình dạng vật lý rời rạc phức tạp, tìm các đại lượng gần đúng với nó, một dạng nén hoặc phân tách.

Là quá đơn giản, khoảnh khắc thống kê là mô tả bổ sung của một đường cong / phân phối. Chúng tôi đã quen thuộc với hai khoảnh khắc đầu tiên và chúng thường hữu ích cho các phân phối bình thường liên tục hoặc các đường cong tương tự. Tuy nhiên, hai khoảnh khắc đầu tiên này mất giá trị thông tin của chúng cho các bản phân phối khác. Do đó, những khoảnh khắc khác cung cấp thông tin bổ sung về hình dạng / hình thức phân phối.

Câu hỏi: Vậy từ "khoảnh khắc" này có nghĩa gì trong trường hợp này? Tại sao sự lựa chọn từ này? Nó không nghe có vẻ trực quan đối với tôi (hoặc tôi chưa bao giờ nghe thấy điều đó khi quay lại trường đại học :) Nghĩ về điều đó tôi cũng tò mò không kém với cách sử dụng nó trong "khoảnh khắc quán tính";) nhưng bây giờ chúng ta không tập trung vào điều đó.

Trả lời: Thật ra, trong một ý nghĩa lịch sử, khoảnh khắc quán tính có lẽ là nơi ý nghĩa của những khoảnh khắc từ xuất phát. Thật vậy, người ta có thể (như dưới đây) cho thấy thời điểm quán tính liên quan đến phương sai. Điều này cũng mang lại một sự giải thích vật lý của những khoảnh khắc cao hơn.

Trong vật lý, một khoảnh khắc là một biểu thức liên quan đến tích của khoảng cách và đại lượng vật lý, và theo cách này, nó tính đến cách định lượng hoặc sắp xếp đại lượng vật lý. Khoảnh khắc thường được xác định liên quan đến một điểm tham chiếu cố định; chúng xử lý các đại lượng vật lý được đo ở một khoảng cách nào đó từ điểm tham chiếu đó. Ví dụ: mô men của lực tác dụng lên một vật, thường được gọi là mô-men xoắn, là tích của lực và khoảng cách từ một điểm tham chiếu, như trong ví dụ dưới đây.

$\dfrac{d\omega}{dt}=\alpha,\,\dfrac{d\theta}{dt}=\omega$$\theta$

$$\beta(x;\alpha,\beta)=\begin{array}{cc} \Bigg\{ & \begin{array}{cc} \dfrac{x^{\alpha -1} (1-x)^{\beta -1}}{B(\alpha ,\beta )} & 0<x<1 \\ 0 & \text{True} \\ \end{array} \\ \end{array}\,,$$ $B(\alpha,\beta)=\dfrac{\Gamma(\alpha)\,\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)}$$\Gamma(.)$$\Gamma(z) = \int_0^\infty x^{z-1} e^{-x}\,dx$

$z$$x$$x,y$

$$\mu=\int_0^1r\,\beta(r;\alpha,\beta)\,dr=\frac{\alpha}{\alpha+\beta}\,,$$ $\beta(r;2,2)$$\mu=\dfrac{1}{2}$

$0\leq r\leq1$$2\leq r\leq4$

$r$$z$

$$\sigma^2=\int_0^1 (r-\mu)^2 \beta(r;\alpha,\beta) \, dr =\frac{\alpha \beta }{(\alpha +\beta )^2 (\alpha +\beta +1)}\,,$$ $\beta(r;2,2)$$I=\sigma^2=\dfrac{1}{20}$$I$

$n^{\text{th}}$

$$\int_0^1 (r-\mu)^n \beta(r;\alpha,\beta) \, dr\,.$$ $n^{\text{th}}$

Điều gì sẽ xảy ra nếu chúng ta muốn tính toán ngược, nghĩa là lấy một vật thể rắn 3D và biến nó thành một hàm xác suất? Mọi thứ sau đó trở nên phức tạp hơn một chút. Ví dụ, chúng ta hãy lấy một hình xuyến .

$r$$z$

$I$$\sigma^2$$I=\dfrac{\tau}{a}$$\tau$$a$