Làm thế nào để tính giá trị kỳ vọng của một phân phối chuẩn thông thường?

Tôi muốn tìm hiểu cách tính giá trị mong đợi của một biến ngẫu nhiên liên tục. Dường như giá trị kỳ vọng là

E [X] = \int_{- \infty}^{\infty} x f (x) d x

$E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} xf(x)\mathrm{d}x$ nơi

f (x)

$f(x)$ là hàm mật độ xác suất của

X

$X$ .

Giả sử hàm mật độ xác suất của $X$ là

f (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{\frac{- x^{2}}{2}}

$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{\frac{-x^{2}}{2}}$ là mật độ của phân phối chuẩn thông thường.

Vì vậy, đầu tiên tôi sẽ cắm trong PDF và nhận

E [X] = \int_{- \infty}^{\infty} x \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{\frac{- x^{2}}{2}} d x

$E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{\frac{-x^{2}}{2}}\mathrm{d}x$ là một phương trình tìm kiếm khá lộn xộn. Hằng số

\frac{1}{\sqrt{2 π}}

$\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi}}$ Có thể di chuyển

bên ngoài tích phân, cho

E [X] = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{\infty} x e^{\frac{- x^{2}}{2}} d x .

$E[X] = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} xe^{\frac{-x^{2}}{2}}\mathrm{d}x.$

Tôi bị kẹt ở đây. Làm thế nào để tôi tính tích phân? Tôi đang làm điều này chính xác đến nay? Là cách đơn giản nhất để có được giá trị mong đợi?

random-variable pdf expected-value

— mmh
nguồn

tiêu đề câu hỏi của bạn là sai lệch. Trong thực tế, bạn đang cố gắng tính giá trị mong đợi của một biến ngẫu nhiên tiêu chuẩn thông thường. Bạn cũng có thể tính giá trị mong đợi của một chức năng của RV. Tôi thà đặt tiêu đề: "Cách tính giá trị kỳ vọng của phân phối chuẩn thông thường." Hoặc "Cách tính giá trị mong đợi của một biến ngẫu nhiên liên tục."

— Gumeo

@ GuðmundurEinarsson đã sửa.

— mmh

"Tôi bị kẹt ở đây. Làm thế nào để tôi tính tích phân?" Tìm đạo hàm của

. (Không, tôi không tỏ ra lãnh đạm và đề nghị bạn bận rộn không cần thiết; tôi cực kỳ nghiêm túc; Cứ làm đi!). Sau đó nhìn chằm chằm vào đạo hàm mà bạn đã tìm thấy.

- e^{- \frac{x^{2}}{2}}

$-e^{-\frac{x^2}{2}}$

— Dilip Sarwate

Câu trả lời:

Bạn đã gần đến nơi, hãy làm theo bước cuối cùng của bạn:

E [X] = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{\infty} x e^{\frac{- x^{2}}{2}} d x = - \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{\infty} e^{- x^{2} / 2} d (- \frac{x^{2}}{2}) = - \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- x^{2} / 2} ∣_{- \infty}^{\infty} = 0

$E[X] = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} xe^{\displaystyle\frac{-x^{2}}{2}}\mathrm{d}x\\=-\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2/2}d(-\frac{x^2}{2})\\=-\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\mid_{-\infty}^{\infty}\\=0$

Hoặc bạn có thể trực tiếp sử dụng thực tế là là một chức năng lẻ và các giới hạn của tích phân là đối xứng. $xe^{-x^2/2}$

— Bắc sâu
nguồn

Đối số đối xứng chỉ hoạt động nếu cả hai nửa đều tự hội tụ.

— Glen_b -Reinstate Monica

Bạn có thể giải thích những gì xảy ra trên hàng thứ hai?

— mmh

Nhận xét của Glen là chính xác nếu nó không hội tụ thì thay đổi biến sẽ không hoạt động

— Deep North

Hàng thứ hai bằng với hàng đầu tiên kể từ

d (- \frac{x^{2}}{2}) = - x d x

$d(-\frac{x^2}{2})=-xdx$

\int_{a}^{b} e^{y} d y = e^{y} ∣_{a}^{b}

$\int_{a}^{b}e^y dy=e^y\mid_{a}^{b}$

\int_{0}^{\infty} x f (x) d x

$\int_0^\infty xf(x) dx$

Vì bạn muốn tìm hiểu các phương pháp tính toán kỳ vọng và bạn muốn biết một số cách đơn giản, bạn sẽ thích sử dụng hàm tạo khoảnh khắc (mgf)

ϕ (t) = E [e^{t X}] .

$\phi(t) = E[e^{tX}].$

Phương thức này hoạt động đặc biệt tốt khi hàm phân phối hoặc mật độ của nó được đưa ra dưới dạng hàm mũ. Trong trường hợp này, bạn thực sự không phải thực hiện bất kỳ tích hợp nào sau khi bạn quan sát

t^{2} / 2 - {(x - t)}^{2} / 2 = t^{2} / 2 + (- x^{2} / 2 + t x - t^{2} / 2) = - x^{2} / 2 + t x,

$t^2/2 -\left(x - t\right)^2/2 = t^2/2 + (-x^2/2 + tx - t^2/2) = -x^2/2 + tx,$

$x$ $C e^{-x^2/2}$ $C$

ϕ (t) = C \int_{R} e^{t x} e^{- x^{2} / 2} d x = C \int_{R} e^{- x^{2} / 2 + t x} d x = e^{t^{2} / 2} C \int_{R} e^{- (x - t)^{2} / 2} d x .

$\phi(t) = C\int_\mathbb{R} e^{tx} e^{-x^2/2} dx = C\int_\mathbb{R} e^{-x^2/2 + tx} dx = e^{t^2/2}C\int_\mathbb{R} e^{-(x-t)^2/2} dx .$

$e^{t^2/2}$ $t$ $1$

ϕ (t) = e^{t^{2} / 2} .

$\phi(t) = e^{t^2/2}.$

$t$ $\phi$ $0$

ϕ (t) = e^{t^{2} / 2} = 1 + (t^{2} / 2) + \frac{1}{2} {(t^{2} / 2)}^{2} + \dots + \frac{1}{k!} {(t^{2} / 2)}^{k} + \dots .

$\phi(t) = e^{t^2/2} = 1 + (t^2/2) + \frac{1}{2} \left(t^2/2\right)^2 + \cdots + \frac{1}{k!}\left(t^2/2\right)^k + \cdots.$

$e^{tX}$ $tX$

E [e^{t X}] = E [1 + t X + \frac{1}{2} (t X)^{2} + \dots + \frac{1}{n!} (t X)^{n} + \dots] = 1 + E [X] t + \frac{1}{2} E [X^{2}] t^{2} + \dots + \frac{1}{n!} E [X^{n}] t^{n} + \dots .

$E[e^{tX}] = E\left[1 + tX + \frac{1}{2}(tX)^2 + \cdots + \frac{1}{n!}(tX)^n + \cdots\right] \\ = 1 + E[X]t + \frac{1}{2}E[X^2]t^2 + \cdots + \frac{1}{n!}E[X^n]t^n + \cdots.$

$t^{2k} = t^n$

\frac{1}{(2 k)!} E [X^{2 k}] t^{2 k} = \frac{1}{k!} (t^{2} / 2)^{k} = \frac{1}{2^{k} k!} t^{2 k},

$\frac{1}{(2k)!}E[X^{2k}]t^{2k} = \frac{1}{k!}(t^2/2)^k = \frac{1}{2^kk!} t^{2k},$

ngụ ý

E [X^{2 k}] = \frac{(2 k)!}{2^{k} k!}, k = 0, 1, 2, \dots

$E[X^{2k}] = \frac{(2k)!}{2^kk!},\ k = 0, 1, 2, \ldots$

$X$ $X$

$E[1/(1-tX)] = E[1 + tX + (tX)^2 + \cdots + (tX)^n + \cdots]$ $X$ $E[e^{itX}]$ ) nói chung rất hữu ích, mặc dù vậy, bạn sẽ tìm thấy chúng được đưa ra trong các bảng thuộc tính phân phối, chẳng hạn như trong mục Wikipedia trên phân phối chuẩn .

— whuber
nguồn