Làm thế nào để chỉ ra rằng một công cụ ước tính là phù hợp?

Có đủ để chỉ ra rằng MSE = 0 là không? Tôi cũng đọc trong ghi chú của tôi một cái gì đó về plim. Làm thế nào để tôi tìm thấy plim và sử dụng nó để chỉ ra rằng công cụ ước tính là phù hợp? $n\rightarrow\infty$

estimation convergence consistency

— Kiên nhẫn
nguồn

EDIT: Sửa lỗi nhỏ.

Đây là một cách để làm điều đó:

Công cụ ước tính của (hãy gọi nó là ) là nhất quán nếu nó hội tụ xác suất thành . Sử dụng ký hiệu của bạn $\theta$ $T_n$ $\theta$

$\mathrm{plim}_{n\rightarrow\infty}T_n = \theta$ .

Hội tụ xác suất, về mặt toán học, có nghĩa là

$\lim\limits_{n\rightarrow\infty} P(|T_n - \theta|\geq \epsilon)= 0$ cho tất cả $\epsilon>0$ .

Cách dễ nhất để thể hiện sự hội tụ về xác suất / tính nhất quán là gọi bất đẳng thức của Ch Quashev, trong đó nêu rõ:

$P((T_n - \theta)^2\geq \epsilon^2)\leq \frac{E(T_n - \theta)^2}{\epsilon^2}$ .

Như vậy

$P(|T_n - \theta|\geq \epsilon)=P((T_n - \theta)^2\geq \epsilon^2)\leq \frac{E(T_n - \theta)^2}{\epsilon^2}$ .

Và vì vậy, bạn cần chỉ ra rằng chuyển về 0 dưới dạng . $E(T_n - \theta)^2$ $n\rightarrow\infty$

EDIT 2 : Ở trên yêu cầu rằng công cụ ước tính ít nhất là không thiên vị. Như G. Jay Kerns chỉ ra, hãy xem xét công cụ ước tính (để ước tính giá trị trung bình ). được thiên vị cho cả hữu hạn và không có triệu chứng, và là . Tuy nhiên, không phải là công cụ ước tính nhất quán của . $T_n = \bar{X}_n+3$ $\mu$ $T_n$ $n$ $\mathrm{Var}(T_n)=\mathrm{Var}(\bar{X}_n)\rightarrow 0$ $n\rightarrow \infty$ $T_n$ $\mu$

EDIT 3 : Xem điểm của hồng y trong các bình luận dưới đây.

@ G.JayKerns Không thiên vị là không cần thiết cho việc này. Hãy xem xét . là một công cụ ước tính sai lệch về độ lệch chuẩn nhưng bạn có thể sử dụng đối số trên để cho thấy rằng nó phù hợp.

S_{n} = \sqrt{\frac{1}{n - 1} \sum_{i = 1}^{n} (X_{i} - \bar{X_{n}})^{2}}

$S_n = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X_n})^2}$

S_{n}

$S_n$

Có vẻ tốt (+1); và tôi sẽ xóa những bình luận trước đó của tôi.

@ G.JayKerns Nhận xét của bạn là một bổ sung cần thiết. Chúng tôi phải luôn đảm bảo rằng chúng tôi nhận thức được các giả định mà chúng tôi đang làm việc.

@MikeWierzbicki: Tôi nghĩ rằng chúng ta cần phải rất cẩn thận, đặc biệt với những gì chúng ta muốn nói là không thiên vị . Có ít nhất hai khái niệm khác nhau thường nhận được tên này và điều quan trọng là phải phân biệt chúng. Lưu ý rằng nói chung không đúng khi một công cụ ước lượng nhất quán không thiên vị theo nghĩa là ngay cả khi có nghĩa là cho tất cả . Nhiều người gọi sự hội tụ không thiên vị trong giới hạn hoặc gần đúng không thiên vị ... (tiếp)

E T_{n} \to θ

$\mathbb E T_n \to \theta$

θ_{n} = E T_{n}

$\theta_n = \mathbb E T_n$

n

$n$

E T_{n} \to θ

$\mathbb E T_n \to \theta$

— hồng y

Rõ ràng, để một công cụ ước lượng nhất quán bị sai lệch trong giới hạn, sự hội tụ trong phải thất bại vì trong đó .

L_{2}

$L_2$

E (T_{n} - θ)^{2} = V a r (T_{n}) + (θ_{n} - θ)^{2}

$\mathbb E(T_n - \theta)^2 = \mathrm{Var}(T_n) + (\theta_n - \theta)^2$

θ_{n} = E T_{n}

$\theta_n = \mathbb E T_n$

— Đức hồng y