Làm cách nào để tính toán để thống kê đơn hàng của phân phối thống nhất?

Tôi đang cố gắng giải quyết một vấn đề cho luận án của mình và tôi không thấy làm thế nào để làm điều đó. Tôi có 4 quan sát được lấy ngẫu nhiên từ một phân phối thống nhất . Tôi muốn tính xác suất . là thống kê thứ tự thứ i (Tôi lấy thống kê thứ tự để các quan sát của tôi được xếp hạng từ nhỏ nhất đến lớn nhất). Tôi đã giải quyết nó cho một trường hợp đơn giản hơn nhưng ở đây tôi không biết làm thế nào để làm điều đó.$(0,1)$$3 X_{(1)}\ge X_{(2)}+X_{(3)}$$X_{(i)}$

Tất cả sự giúp đỡ sẽ được chào đón.

Viết số liệu thống kê đơn hàng dưới dạng , . Bắt đầu bằng cách lưu ý rằng ngụ ý$(x_1,x_2,x_3,x_4)$$0 \le x_1 \le x_2 \le x_3 \le x_4 \le 1$$x_1 \le x_2$

$$\Pr[3x_1 \ge x_2+x_3] = 1 - \Pr[3x_1 \lt x_2+x_3] = 1 - \Pr[x_1 \le \min(x_2, \frac{x_2+x_3}{3})].$$

Sự kiện cuối cùng này chia thành hai sự kiện rời rạc tùy thuộc vào và là lớn hơn:$x_2$$(x_2+x_3)/2$

$$\eqalign{ \Pr[x_1 \le \min(x_2, \frac{x_2+x_3}{3})] &= \Pr[x_2 \le \frac{x_3}{2},\quad x_1 \le x_2] \\ &+ \Pr[\frac{x_3}{2} \le x_2 \le x_3,\quad x_1 \le \frac{x_2+x_3}{3}]. }$$

Vì phân phối chung là đồng nhất trên tập , với mật độ ,$0 \le x_1 \le x_2 \le x_3 \le x_4 \le 1$$4! dx_4 dx_3 dx_2 dx_1$

$$\Pr[x_2 \le \frac{x_3}{2},\quad x_1 \le x_2] = 4! \int_0^1 dx_4 \int_0^{x_4} dx_3 \int_0^{x_3/2} dx_2 \int_0^{x_2} dx_1 = \frac{1}{4}$$

và

$$\Pr[\frac{x_3}{2} \le x_2 \le x_3,\quad x_1 \le \frac{x_2+x_3}{3}]=4! \int_0^1 dx_4 \int_0^{x_4} dx_3 \int_{x_3/2}^{x_3} dx_2 \int_0^{(x_2+x_3)/2} dx_1 = \frac{7}{12}.$$

(Mỗi tích phân đơn giản để thực hiện như một tích phân lặp; chỉ tích hợp đa thức được tham gia.)

Do đó xác suất mong muốn bằng = .$1 - (1/4 + 7/12)$$1/6$

Biên tập

Một giải pháp thông minh hơn (đơn giản hóa công việc) xuất phát từ sự thừa nhận rằng khi có iid phân phối mũ, , sau đó (viết ) , tổng một phần$y_j$$1\le j\le n+1$$y_1+y_2+\cdots+y_{n+1} = Y\ $

$$x_i = \sum_{j=1}^{i}y_j/Y,$$

$1\le i\le n$ , được phân phối như thống kê đơn hàng thống nhất. Bởi vì gần như chắc chắn là dương, nên nó dễ dàng theo bất kỳ ,$Y$ $n\ge 3$

$$\eqalign{ \Pr[3x_1\ge x_2+x_3] &= \Pr[\frac{3y_1}{Y}\ge\frac{y_1+y_2}{Y}+\frac{y_1+y_2+y_3}{Y}]\\ &=\Pr[3y_1\ge(y_1+y_2)+(y_1+y_2+y_3)]\\ &= \Pr[y_1\ge 2y_2+y_3]\\ &= \int_0^\infty \exp(-y_3)\int_0^\infty \exp(-y_2) \int_{2y_2+y_3}^\infty \exp(-y_1) dy_1 dy_2 dy_3\\ &= \int_0^\infty \exp(-y_3)\int_0^\infty \exp(-y_2)\left[\exp(-2y_2-y_3)\right]dy_2 dy_3 \\ &= \int_0^\infty \exp(-2y_3)dy_3 \int_0^\infty \exp(-3y_2)dy_2 \\ &= \frac{1}{2} \frac{1}{3} = \frac{1}{6}. }$$