Một sai lầm có thể có trong một dẫn xuất xác suất có điều kiện

Sau đây là một dẫn xuất của mật độ từ một bài báo tôi đang nghiên cứu. Xin lỗi vì chất lượng kém, nó là một bài báo cũ. Tôi cần làm rõ rằng có mật độ mũ theo tiêu chuẩn theo , đồng nhất trên và chúng độc lập. Tất nhiên, hệ số tương quan dân số là một hằng số. và đến từ phân phối chuẩn bivariate tiêu chuẩn, do đó đại diện lượng giác, nhưng điều này không có vai trò ở đây, tôi tin. $R$ $(0,\infty)$ $U$ $(0,1)$ $\rho$ $X$ $Y$

Điều tôi không hiểu là làm thế nào tác giả đạt được những kết luận này cho tích cực hay tiêu cực . Dường như với tôi, việc chia cho một số âm và tính không âm của không được tính đúng. Tôi có thể bị nhầm lẫn tất nhiên vì vậy tôi sẽ đánh giá cao một số lời khuyên. Cảm ơn bạn. $t$ $R$

— JohnK
nguồn

@ Xi'an Cảm ơn bạn đã bình luận của bạn. Đại diện này bắt nguồn từ thực tế là với và độc lập. Vì tổng có phương sai và chênh lệch , nên có cùng phân phối với trong đó hiện có phân phối chuẩn thông thường. Sau đó, kết quả sẽ xảy ra bằng cách đặt và , biến đổi Box-Muller và phù hợp với điều đó

X Y = [(X + Y)^{2} - (X - Y)^{2}] / 4

$XY = \left[ (X+Y)^2 -(X-Y)^2 \right]/4$

X - Y

$X-Y$

X + Y

$X+Y$

2 (1 + ρ)

$2(1+\rho)$

2 (1 - ρ)

$2(1-\rho)$

X Y

$XY$

\frac{1}{2} ((1 + ρ) Z_{1}^{2} - (1 - ρ) Z_{2}^{2})

$\frac{1}{2}\left((1+\rho)Z_1^2 -(1-\rho) Z_2 ^2 \right)$

Z_{i}

$Z_i$

Z_{1} = \sqrt{- 2 \log (U_{1}}) \cos (2 π U_{2})

$Z_1=\sqrt{-2\log(U_1})\cos(2\pi U_2)$

Z_{2} = \sqrt{- 2 \log (U_{1})} \sin (2 π U_{2})

$Z_2=\sqrt{-2\log(U_1)} \sin(2\pi U_2)$

- \log (U)

$- \log(U)$ có phân phối theo cấp số nhân tiêu chuẩn

— JohnK

@ Tây An Không có vấn đề. Bạn có nói rằng các bước tiếp theo là chính xác không?

— JohnK

Tôi cũng có thể bị nhầm lẫn nhưng không gặp khó khăn gì với việc phân tách.

Khi , vì thuật ngữ thứ hai bằng 0, được nhân ở đó với một số hạng âm. Do đó dường như là chính xác. $t\ge 0$

\begin{aligned} P (R (\cos (π U) & + ϱ) \geq t, \cos (π U) + ϱ \geq 0) \\ + P (R (\cos (π U) + ϱ) \geq t, \cos (π U) + ϱ \leq 0) \\ = P (R (\cos (π U) + ϱ) \geq t, \cos (π U) + ϱ \geq 0) \end{aligned}

$\begin{align*} P(R(\cos(\pi U)&+\varrho)\ge t,\cos(\pi U)+\varrho\ge 0)\\ &+P(R(\cos(\pi U)+\varrho)\ge t,\cos(\pi U)+\varrho\le 0)\\ &=P(R(\cos(\pi U)+\varrho)\ge t,\cos(\pi U)+\varrho\ge 0) \end{align*}$

R

$R$

P (X Y \geq t) = P (R (\cos (π U) + ϱ) \geq t, \cos (π U) + ϱ \geq 0) = P (R (\cos (π U) + ϱ) \geq t, U \leq \cos^{- 1} (- ϱ) / π) = \int_{0}^{\cos^{- 1} (- ϱ) / π} P (R (\cos (π U) + ϱ) \geq t) d u

$P(XY\ge t) = P(R(\cos(\pi U)+\varrho)\ge t,\cos(\pi U)+\varrho\ge 0)\quad\qquad \\ \ \ \ = P(R(\cos(\pi U)+\varrho)\ge t,U\le\cos^{-1}(-\varrho)/\pi)\\ = \int_0^{\cos^{-1}(-\varrho)/\pi} P(R(\cos(\pi U)+\varrho)\ge t)\,\text{d}u$

Khi , vì luôn đúng khi , vì vậy điều này dường như cũng đúng. $t\le 0$

R (\cos (π U) + ϱ) \geq t

$R(\cos(\pi U)+\varrho)\ge t$

\cos (π U) + ϱ \geq 0

$\cos(\pi U)+\varrho\ge 0$

\begin{aligned} P (R (\cos (π U) & + ϱ) \geq t, \cos (π U) + ϱ \geq 0) \\ + P (R (\cos (π U) + ϱ) \geq t, \cos (π U) + ϱ \leq 0) \\ = P (\cos (π U) & + ϱ \geq 0) \\ + P (R (- \cos (π U) - ϱ) \leq - t, \cos (π U) + ϱ \leq 0) \\ = P (\cos (π U) & + ϱ \geq 0) \\ + P {R \leq t / (\cos (π U) + ϱ), U \geq \cos^{- 1} (- ϱ) / π} \\ = P (\cos (π U) & + ϱ \geq 0) \\ + \int_{\cos^{- 1} (- ϱ) / π}^{1} P {R \leq t / (\cos (π u) + ϱ} \end{aligned}

$\begin{align*} P(R(\cos(\pi U)&+\varrho)\ge t,\cos(\pi U)+\varrho\ge 0)\\ &+P(R(\cos(\pi U)+\varrho)\ge t,\cos(\pi U)+\varrho\le 0)\\ =P(\cos(\pi U)&+\varrho\ge 0)\\ &+P(R(-\cos(\pi U)-\varrho)\le -t,\cos(\pi U)+\varrho\le 0)\\ =P(\cos(\pi U)&+\varrho\ge 0)\\ &+P\left\{R\le t\big/(\cos(\pi U)+\varrho),U\ge\cos^{-1}(-\varrho)/\pi\right\}\\ =P(\cos(\pi U)&+\varrho\ge 0)\\ &+\int_{\cos^{-1}(-\varrho)/\pi}^1 P\left\{R\le t\big/(\cos(\pi u)+\varrho\right\} \end{align*}$

— Tây An
nguồn

Tôi nghĩ rằng sai lầm của tôi là đảo ngược cosin, đã không chuyển đổi sự bất bình đẳng. Cảm ơn bạn rất nhiều vì câu trả lời của bạn.

— JohnK