Giải thích tổng luật hiệp phương sai

Đặt là các biến ngẫu nhiên được xác định trên cùng một không gian xác suất và để hiệp phương sai của và là hữu hạn, thì luật của công thức phân rã hiệp phương sai / hiệp phương sai nêu: Giải thích về cái gì và ?X $X,Y,Z$$X$$Y$ (i)

$$\begin{align} \text{Cov}(X,Y)=\underbrace{\mathbb{E}\big[\text{Cov}(X,Y\lvert Z)\big]}_{\text{(i)}}+\underbrace{\text{Cov}\big[\mathbb{E}(X\lvert Z),\mathbb{E}(Y\lvert Z)\big]}_{\text{(ii)}} \end{align}$$ $\text{(i)}$$\text{(ii)}$

Suy nghĩ của tôi: trong (ii) hai kỳ vọng có điều kiện có thể được xem là chính các biến ngẫu nhiên, tôi cũng biết rằng đây là một khái quát của định luật về công thức phân rã phương sai / phương sai có thể được hiển thị bằng cách đặt , trong đó diễn giải sau đó là của một sự thay đổi trong giải thích bằng và không giải thích được bởi . Nhưng giải thích chính xác trong công thức hiệp phương sai trên cho (i) và (ii) là gì? Wikipedia cung cấp một mô tả ngắn gọn mà không thỏa mãn lắm.Y Z $X=Y$$Y$$Z$$Z$

Thuật ngữ đầu tiên (i): $E[\operatorname{cov}(X,Y|Z)]$

Hãy suy nghĩ về là một hàm của Z . Khi bạn kiểm tra các giá trị khác nhau của Z , bạn sẽ nhận được một giá trị cho cov ( X , Y ) . Kỳ vọng chỉ đơn giản là trung bình các hiệp phương sai khác nhau liên quan đến với Z .$\operatorname{cov}(X,Y)$$Z$$Z$$\operatorname{cov}(X,Y)$$Z$

Thuật ngữ thứ hai (ii): $\operatorname{cov}([E[X|Z],E[Y|Z])$

Hãy nghĩ về và E [ Y | Z ] như chức năng của Z . Khi bạn kiểm tra các giá trị khác nhau của Z , bạn sẽ nhận được giá trị E [ X | Z ] và giá trị của E [ Y | Z ] nhận ra đồng thời. Do đó, với mỗi giá trị của Z , bạn sẽ có tọa độ ( X , Y ) . Thuật ngữ này chỉ đơn giản là hiệp phương sai của tất cả các điểm phối hợp này.$E[X|Z]$$E[Y|Z]$$Z$$Z$$E[X|Z]$$E[Y|Z]$$Z$$(X, Y)$

Một giải thích khả dĩ trong một khuôn khổ thứ bậc là một phân hủy đơn giản trong tổng số hiệp phương sai vào hai nhiệm kỳ:$\operatorname{cov}(X,Y)$

1. nhóm bên trong ( ) và$E[\operatorname{cov}(X,Y|Z)]$
2. $\operatorname{cov}([E[X|Z],E[Y|Z])$

$X$$Y$$X$$Y$