Chứng minh / Từ chối

Chứng minh / Từ chối $E[1_A | \mathscr{F_t}] = 0 \ \text{or} \ 1 \ \text{a.s.} \ \Rightarrow E[1_A | \mathscr{F_{s}}] = E[1_A | \mathscr{F_t}] \ \text{a.s.}$

Cho một không gian xác suất lọc $(\Omega, \mathscr{F}, \{\mathscr{F}_n\}_{n \in \mathbb{N}}, \mathbb{P})$ , chúng ta hãy $A \in \mathscr{F}$ .

Giả sử

\exists t \in N s.t. E [1_{A} | F_{t}] = 1 a.s.

$\exists t \in \mathbb{N} \ \text{s.t.} \ E[1_A | \mathscr{F_t}] = 1 \ \text{a.s.}$ Nó có theo

E [1_{A} | F_{s}] = E [1_{A} | F_{t}] a.s. \forall s > t ?

$E[1_A | \mathscr{F_{s}}] = E[1_A | \mathscr{F_t}] \ \text{a.s.} \ \forall s > t \ ?$ Những gì về

\forall s < t

$\forall s < t$ ?

Điều gì nếu thay

\exists t \in N s.t. E [1_{A} | F_{t}] = 0 a.s. ?

$\exists t \in \mathbb{N} \ \text{s.t.} \ E[1_A | \mathscr{F_t}] = 0 \ \text{a.s.} \ ?$ Hoặc nếu

E [1_{A} | F_{t}] = p a.s. for some p \in (0, 1) ?

$E[1_A | \mathscr{F_t}] = p \ \text{a.s.} \ \text{for some} \ p \in (0,1) \ ?$

Những gì tôi đã cố gắng:

Nếu , sau đó , tương đương với (gần như chắc chắn). Trong trường hợp này (gần như chắc chắn) cho mỗi . $\Bbb E[1_A|\mathscr F_t]=1$ $\Bbb E[1_A]=1$ $1_A=1$ $\Bbb E[1_A|\mathscr F_s]=1$ $s$

Tương tự như vậy, nếu , sau đó , tương đương với (gần như chắc chắn). Trong trường hợp này (gần như chắc chắn) cho mỗi . $\Bbb E[1_A|\mathscr F_t]=0$ $\Bbb E[1_A]=0$ $1_A=0$ $\Bbb E[1_A|\mathscr F_s]=0$ $s$

Nếu , với hằng số , thì ta có $\Bbb E[1_A|\mathscr F_t]=p$ $p\in(0,1)$

. Điều này có thể thất bại nếu . $\Bbb E[1_A|\mathscr F_s]=E[E[1_A|\mathscr F_t]|\mathscr F_s] = E[p|\mathscr F_s] = p$ $s>t$

Hoặc cho trường hợp : $= p$

Đặt là biến ngẫu nhiên có giới hạn giới hạn . $F$ $\mathscr F_t$

E [1_{A} \cdot F] = E [E [1_{A} \cdot F | F_{t}]] = E [F \cdot E [1_{A} | F_{t}]]

$\Bbb E[1_A\cdot F]=\Bbb E[E[1_A\cdot F|\mathscr F_t]]=\Bbb E[F\cdot E[1_A|\mathscr F_t]]$

= E [p \cdot F] = p E [F] = E [1_{A}] \cdot E [F]

$=\Bbb E[p\cdot F]=p\Bbb E[F]=\Bbb E[1_A]\cdot\Bbb E[F]$

nghĩa là và là độc lập. Nói cách khác, và là độc lập. Vì vậy, và cũng là độc lập nếu và do đó . Điều này có thể thất bại nếu . $1_A$ $F$ $\sigma(A)$ $\mathscr F_t$ $\sigma(A)$ $\mathscr F_s$ $s<t$ $E[1_A|\mathscr F_s] = E[1_A] = p$ $s>t$

Tôi đoán ý tưởng là một hằng số đều độc lập với và -mururable $\mathscr F_s$ $\mathscr F_s$ .

— BCLC
nguồn

Đối số của bạn có vẻ hợp lệ, nhưng bạn bắt đầu bằng cách giả sử rằng . Tuy nhiên, câu hỏi nói rằng , mà tôi sẽ làm để có nghĩa là các biến ngẫu nhiên lấy các giá trị trong tập tức là $E[1_A | \mathscr{F_t}] = 1$ $E[1_A | \mathscr{F_t}] \in \{0, 1\}$ $E[1_A | \mathscr{F_t}]$ $\{0, 1\}$ mà . Tính chất xác định của kỳ vọng có điều kiện này là với mọi . Đặc biệt, tham giadẫn đến, từ đó chúng ta có thể kết luận rằng $E[1_A | \mathscr{F_t}]=1_B$ $B\in\mathscr{F_t}$ $\int_F 1_B d\mathbb{P}=\int_F 1_A d\mathbb{P}$ $F\in\mathscr{F_t}$ $F=B$ $P(B)=P(A\cap B)$ $B\subset A$ (ngoại trừ có thể trên một tập hợp xác suất bằng không). Tuy nhiên, chúng tôi cũng biết (như trong đối số bạn đã viết) rằng tức là , vì vậy kết luận duy nhất có thể là (ngoại trừ có thể cho một tập hợp xác suất bằng 0). $E[E[1_A | \mathscr{F_t}]] = E[1_B]$ $P(A)=P(B)$ $A=B$

$s\gt t$ $\mathscr{F_t}\subset\mathscr{F_s}$ $E[1_A | \mathscr{F_t}]=E[E[1_A | \mathscr{F_t}] | \mathscr{F_s}]$ $E[1_A | \mathscr{F_t}]=1_A$ $E[1_A | \mathscr{F_s}]=1_A$ $s>t$ $1_A$ $s<t$ $A\in\mathscr{F_s}$ $E[1_A | \mathscr{F_s}]=1_A$ $A$ $\mathscr{F_s}$ $E[1_A | \mathscr{F_s}]$ $A=\{\omega_2\}\in\mathscr{F_2}\setminus\mathscr{F_1}$ $E[1_A | \mathscr{F_0}]=\frac{1}{8} 1_\Omega$ $E[1_A | \mathscr{F_1}]=\frac{1}{2}1_{\{\omega_1,\omega_2\}}$ $E[1_A | \mathscr{F_2}]=1_{\{\omega_2\}}$ $E[1_A | \mathscr{F_3}]=1_{\{\omega_2\}}$

— S. Catterall phục hồi Monica
nguồn

P (B) = P (A \cup B) \to B \subseteq A

$P(B) = P(A \cup B) \to B \subseteq A$

E [1_{A} | F_{t}] = 1_{A}

$E[1_A | \mathscr{F}_t] = 1_A$

A

$A$

F_{0}

$\mathscr{F}_0$

0

$0$

@ocramz và S. Catterall, đã chỉnh sửa xong. Làm thế nào là nó xin? ^ - ^

— BCLC

A

$A$

ω_{i}

$\omega_i$

A

$A$

A

$A$

0

$0$

P (B) = P (A \cap B)

$P(B) = P(A \cap B)$

B

$B$

A \cap B

$A\cap B$

A^{c} \cap B

$A^c\cap B$

P (A^{c} \cap B) = 0

$P(A^c\cap B)=0$

B \subset A

$B\subset A$

P (A) = P (B)

$P(A)=P(B)$

A = B \in F_{t}

$A=B\in \mathscr{F_t}$