Tại sao một ma trận chiếu của một phép chiếu trực giao đối xứng?

Tôi còn khá mới với điều này, vì vậy tôi hy vọng bạn tha thứ cho tôi nếu câu hỏi ngây thơ. (Bối cảnh: Tôi đang học kinh tế lượng từ cuốn sách "Lý thuyết và phương pháp kinh tế lượng" của Davidson & MacKinnon , và dường như họ không giải thích điều này; Tôi cũng đã xem cuốn sách tối ưu hóa của Luenberger liên quan đến các dự đoán ở cấp độ nâng cao hơn một chút, nhưng không có may mắn).

Giả sử rằng tôi có một chiếu trực giao $\mathbb P$ với là liên quan ma trận chiếu $\bf P$ . Tôi quan tâm đến việc chiếu từng vectơ trong $\mathbb{R}^n$ vào một số không gian con $A \subset \mathbb{R}^n$ .

Câu hỏi : tại sao nó theo , nghĩa là, là đối xứng? Sách giáo khoa nào tôi có thể nhìn vào kết quả này?$\bf{P}=P$$^T$$\bf P$

Đây là một kết quả cơ bản từ đại số tuyến tính trên các hình chiếu trực giao. Một cách tiếp cận tương đối đơn giản như sau. Nếu $u_1, \ldots, u_m$ là vectơ trực giao kéo dài một $m$ chiều không gian con $A$ , và $\mathbf{U}$ là $n \times p$ ma trận với các $u_i$ 's như các cột, sau đó

$$\mathbf{P} = \mathbf{U}\mathbf{U}^T.$$ Điều này xuất phát trực tiếp từ thực tế là phép chiếu trực giao của $x$ lên $A$ có thể được tính theo cơ sở trực giao của $A$ là Nó sau trực tiếp từ công thức trên màP2=PvàPT=P $$\sum_{i=1}^m u_i u_i^T x.$$ $\mathbf{P}^2 = \mathbf{P}$$\mathbf{P}^T = \mathbf{P}.$

Cũng có thể đưa ra một lập luận khác nhau. Nếu là ma trận chiếu cho phép chiếu trực giao, thì theo định nghĩa, với mọi x , y ∈ R n P x ⊥ y - P y . Do đó, 0 = ( P x ) T ( y - P y ) = x T P T ( I - P ) y = x T ( P T - $\mathbf{P}$$x,y \in \mathbb{R}^n$

$$\mathbf{P}x \perp y-\mathbf{P}y.$$
với mọi x , y ∈ R n . Điều này cho thấy P T = P T P , từ đâu P = ( P T ) T = ( P T P ) T = P T P = P T $$0 = (\mathbf{P} x)^T (y - \mathbf{P}y) = x^T \mathbf{P}^T (I - \mathbf{P}) y = x^T (\mathbf{P}^T - \mathbf{P}^T \mathbf{P}) y$$ $x, y \in \mathbb{R}^n$$\mathbf{P}^T = \mathbf{P}^T \mathbf{P}$ $$\mathbf{P} = (\mathbf{P}^T)^T = (\mathbf{P}^T \mathbf{P})^T = \mathbf{P}^T \mathbf{P} = \mathbf{P}^T.$$

Một nỗ lực về trực giác hình học ... Hãy nhớ lại rằng:

1. Một ma trận đối xứng là tự điều chỉnh.
2. Một sản phẩm vô hướng chỉ được xác định bởi các thành phần trong không gian tuyến tính lẫn nhau (và độc lập với các thành phần trực giao của bất kỳ vectơ nào).

$x$$A$$y$$\langle x,Ay \rangle$$x$$y$$\langle Ax,Ay \rangle$$\langle Ax,y\rangle$

$A$