Đạo hàm của một quá trình Gaussian

Tôi tin rằng đạo hàm của một quá trình Gaussian (GP) là một GP khác, và vì vậy tôi muốn biết liệu có các phương trình dạng đóng cho các phương trình dự đoán của đạo hàm của GP không? Cụ thể, tôi đang sử dụng hạt nhân hiệp phương sai bình phương (còn gọi là hạt nhân Gaussian) và muốn biết về việc đưa ra dự đoán về đạo hàm của quá trình Gaussian.

stochastic-processes gaussian-process derivative

Bạn có ý nghĩa gì bởi đạo hàm của GP? Bạn có ngẫu nhiên tạo một đường cong từ HA,

x (t)

$x(t)$ , và sau đó lấy đạo hàm không?

— Placidia

@Placidia, không, ý tôi là tính

\frac{\partial x (t)}{\partial t}

$\frac{\partial x(t)}{\partial t}$ , mà tôi tin rằng cần phải một quá trình Gaussian

Câu hỏi hay. Tuy nhiên tôi dường như nhớ lại rằng chuyển động Brown là cả GP và không có gì khác biệt. Vì vậy, tôi không chắc chắn rằng có thể có một biểu thức chung chung. Tất nhiên x (t) -x (th) phải là một Gaussian nên có thể đưa ra hàm hiệp phương sai để nghĩ về xác suất của nó trong một h cho trước.

— phỏng đoán

@conjectures, đó là lý do tại sao tôi đặc biệt nói rằng tôi có GP trong đó hàm kernel là hàm mũ bình phương (vì tôi biết rằng một trong số đó là vô cùng khác biệt) và thực sự chỉ tìm kiếm trường hợp phái sinh trong ví dụ của tôi. Nhưng điểm tốt không kém!

Câu trả lời:

Câu trả lời ngắn gọn: Có, nếu Quy trình Gaussian (GP) của bạn khác biệt, đạo hàm của nó lại là GP. Nó có thể được xử lý như bất kỳ GP nào khác và bạn có thể tính toán phân phối dự đoán.

Nhưng kể từ khi một GP và dẫn xuất của nó liên quan chặt chẽ, bạn có thể suy ra tính chất của một trong hai từ khác. $G$ $G'$

Sự tồn tại của $G'$

Một GP zero-mean với hàm hiệp phương sai là khả vi (trong bình phương trung bình) nếu $K$ tồn tại. Trong trường hợp đó hàm hiệp phương sai củatương đương với. Nếu quá trình không có nghĩa là không, thì hàm trung bình cũng cần phải được phân biệt. Trong trường hợp đó chức năng trung bình củalà đạo hàm của hàm trung bình của. $K'(x_1, x_2)=\frac{\partial^2 K}{\partial x_1 \partial x_2}(x_1,x_2)$ $G'$ $K'$ $G'$ $G$

(Để biết thêm chi tiết, hãy kiểm tra ví dụ Phụ lục 10A của A. Papoulis "Xác suất, biến ngẫu nhiên và quy trình ngẫu nhiên")

Vì Hạt nhân hàm mũ Gaussian có thể phân biệt bất kỳ thứ tự nào, nên điều này không có vấn đề gì với bạn.

Phân phối dự đoán cho $G'$

Đây là đơn giản nếu bạn chỉ muốn đến tình trạng trên những quan sát của : Nếu bạn có thể tính đạo hàm tương ứng bạn biết chức năng trung bình và hiệp phương sai để bạn có thể làm suy luận với nó trong cùng một cách như bạn sẽ làm điều đó với bất kỳ GP khác. $G'$

Nhưng bạn cũng có thể lấy được một phân bố tiên đoán cho dựa trên những quan sát của . Bạn làm điều này bằng cách tính toán sau của cho các quan sát của bạn theo cách tiêu chuẩn và sau đó áp dụng 1. cho hàm hiệp phương sai và hàm trung bình của quá trình sau. $G'$ $G$ $G$

Công trình theo cách tương tự cách khác xung quanh này, nghĩa là bạn tình trạng trên những quan sát của để suy ra một sau của . Trong trường hợp đó, hàm hiệp phương sai của được cho bởi các tích phân của và có thể khó tính nhưng logic thực sự giống nhau. $G'$ $G$ $G$ $K'$

— gg
nguồn

Tôi không hiểu câu hỏi của bạn. Có một công thức rõ ràng cho hàm hiệp phương sai và hàm trung bình được đưa ra ở trên (và trong 9,4 của Rasmussen / Williams). Vì đây là tất cả những gì cần biết và sử dụng GP mà bạn có thể yêu cầu?

— gg

G^{'}

$G'$

Có thể là bạn nhầm lẫn giữa hàm trung bình và các đường dẫn của quá trình? Lưu ý rằng hàm trung bình mượt hơn các đường dẫn và có thể khác biệt mặc dù quá trình này không. Nhưng hàm trung bình là hàm xác định, không phải là quá trình, do đó không có phương sai nào có thể tính được.

— gg

Nó là. Xem Rasmussen và Williams phần 9.4 . Ngoài ra, một số tác giả tranh luận mạnh mẽ chống lại kenrnel theo cấp số nhân vuông - nó quá trơn tru.

— Yair Daon
nguồn

Vì vậy, có một phân phối dự đoán cho các công cụ phái sinh?