Autocorrelation cho một bước đi ngẫu nhiên là gì?

Có vẻ như nó thực sự cao, nhưng điều này là trái ngược với tôi. Ai đó có thể vui lòng giải thích? Tôi rất bối rối về vấn đề này và sẽ đánh giá cao một lời giải thích chi tiết, sâu sắc. Cảm ơn rất nhiều trước!

(Tôi đã viết bài này như một câu trả lời cho một bài đăng khác, được đánh dấu là một bản sao của bài này trong khi tôi đang soạn nó; tôi hình dung rằng tôi sẽ đăng nó ở đây chứ không phải ném nó đi. Có vẻ như nó nói những điều khá giống với người viết trả lời nhưng nó chỉ đủ khác để ai đó có thể lấy cái gì đó từ cái này.)

Một bước đi ngẫu nhiên có dạng $y_t = \sum_{i=1}^t \epsilon_i$

Lưu ý rằng $y_t = y_{t-1}+ \epsilon_t$

Do đó .$\text{Cov}(y_t,y_{t-1})=\text{Cov}(y_{t-1}+ \epsilon_t,y_{t-1})=\text{Var}(y_{t-1})$

Cũng lưu ý rằng $\sigma^2_t=\text{Var}(y_t) = t\,\sigma^2_\epsilon$

Do đó .$\text{corr}(y_t,y_{t-1})=\frac{\sigma_{t-1}^2}{\sigma_{t-1}\sigma_t} =\frac{\sigma_{t-1}}{\sigma_t}=\sqrt{\frac{t-1}{t}}=\sqrt{1-\frac{1}{t}}\approx 1-\frac{1}{2t}$

Điều đó có nghĩa là bạn sẽ thấy mối tương quan gần như 1 vì ngay khi bắt đầu lớn, y t và y t - 1 gần như giống hệt nhau - sự khác biệt tương đối giữa chúng có xu hướng khá nhỏ.$t$$y_t$$y_{t-1}$

Bạn có thể thấy điều này dễ dàng nhất bằng cách vẽ vs y t - 1 .$y_t$$y_{t-1}$

Bây giờ chúng ta có thể thấy nó phần nào bằng trực giác - hãy tưởng tượng đã trôi xuống - 20 (như chúng ta đã thấy trong mô phỏng của một bước đi ngẫu nhiên với thuật ngữ tiếng ồn thông thường tiêu chuẩn). Sau đó, y t sẽ khá gần - 20 ; nó có thể là - 22 hoặc có thể là - 18,5 nhưng gần như chắc chắn là trong một vài đơn vị của - 20 . Vì vậy, khi bộ phim trôi đi lên xuống, cốt truyện của y t vs y t - 1 sẽ gần như luôn nằm trong một phạm vi khá hẹp của $y_{t-1}$$-20$$y_t$$-20$$-22$$-18.5$$-20$$y_t$$y_{t-1}$ dòng ... nhưng như t phát triển các điểm sẽ bao gồm những đoạn ngày càng lớn cùng mà y = x dòng (sự lây lan dọc theo dòng phát triển với$y=x$$t$$y=x$ , nhưng sự lây lan dọc vẫn không đổi); mối tương quan phải tiếp cận 1.$\sqrt{t}$

Trong ngữ cảnh của câu hỏi trước của bạn , "bước đi ngẫu nhiên" là một nhận thức của bước đi ngẫu nhiên nhị thức. Autocorrelation là mối tương quan giữa vectơ ( x 0 , x 1 , Hoài , x n - 1 ) và vectơ của các phần tử tiếp theo ( x 1 , x 2 , Rắc , x n$(x_0, x_1, x_2, \ldots, x_n)$$(x_0, x_1, \ldots, x_{n-1})$$(x_1,x_2, \ldots, x_n)$.

$x_{i+1}$$x_i$$x_i$$x_0$$\sqrt{n}$$(x_i, x_{i+1})$$y=x\pm 1$, on average being close to the line $y=x$. The residuals will be close to $\pm 1$. Therefore, in the vast majority of realizations, the variance of the residuals (about $1$) compared to the variance of the values (roughly on the order of $(\sqrt{n}/2)^2 = n/4$) will be small. We would expect $R^2$ to be approximately

Here is a picture of $n=1000$ steps in a random walk (on the left) and its lag-1 scatterplot (on the right). Color coding is used to help you find corresponding points in the two plots. Notice that $R^2$ is very close indeed to $1 - 4/n$ in this case.

Here is the R code that produced the images.

set.seed(17)
n <- 1e3
x <- cumsum((runif(n) <= 1/2)*2-1)          # Binomial random walk at x_0=0
rho <- format(cor(x[-1], x[-n]), digits=3)  # Lag-1 correlation

par(mfrow=c(1,2))
plot(x, type="l", col="#e0e0e0", main="Sample Path")
points(x, pch=16, cex=0.75,  col=hsv(1:n/n, .8, .8, .2))
plot(x[-n], x[-1], asp=1, pch=16, col=hsv(1:n/n, .8, .8, .2),
     main="Lag-1 Scatterplot",
     xlab="Current value", ylab="Next value")
mtext(bquote(rho == .(rho)))