Khoảng tin cậy cho ECDF

Bất đẳng thức Dvoretzky Kiefer hạng Wolfowitz như sau:

$Pr(\text{sup}|\hat{F}_n(x)-F(x)|>\epsilon)\leq 2\exp(-2n\epsilon^2)$ ,

và nó dự đoán mức độ chặt chẽ của một hàm phân phối được xác định theo kinh nghiệm đối với hàm phân phối mà từ đó các mẫu thực nghiệm được rút ra. Sử dụng bất đẳng thức này, chúng tôi có thể rút ra các khoảng tin cậy (CI) xung quanh (ECDF). Nhưng những CI này sẽ bằng nhau về khoảng cách xung quanh mọi điểm của ECDF.$\hat{F}_n(x)$

Điều tôi tự hỏi, có cách nào khác để xây dựng một CI xung quanh ECDF không?

Đọc về thống kê theo thứ tự, chúng tôi thấy rằng phân phối tiệm cận của thống kê theo thứ tự là như sau:

Bây giờ, trước hết, -index với những biểu tượng đó có ý nghĩa gì?$np$

Câu hỏi chính: chúng ta có thể sử dụng kết quả này, cùng với phương pháp delta (xem bên dưới), để cung cấp CI cho ECDF. Ý tôi là, ECDF là một chức năng của thống kê được sắp xếp, phải không? Nhưng đồng thời ECDF là một hàm không tham số, vậy đây có phải là ngõ cụt không?

Chúng tôi biết rằng và Var ( F n ( x ) ) = F ( x ) ( 1 - F ( x ) $E(\hat{F}_n(x))=F(x)$$\text{Var}(\hat{F}_n(x))=\frac{F(x)(1-F(x))}{n}$

Tôi hy vọng tôi rõ ràng về những gì tôi nhận được ở đây, và đánh giá cao bất kỳ sự giúp đỡ nào.

CHỈNH SỬA :

Phương thức Delta: Nếu bạn có một chuỗi các biến ngẫu nhiên thỏa mãn$X_n$

,

và và là hữu hạn, thì những điều sau đây được thỏa mãn:$\theta$$\sigma^2$

,

đối với bất kỳ hàm g nào thỏa mãn thuộc tính mà tồn tại, có giá trị khác không và được giới hạn đa thức với biến ngẫu nhiên (trích dẫn wikipedia)$g′(\theta)$

Tôi thấy không có cách nào sử dụng phương thức delta, nhưng ...

Đọc về sự hội tụ của hàm phân phối theo kinh nghiệm, chúng ta đọc rằng định lý giới hạn trung tâm cho chúng ta:

$\sqrt{n}(\hat{F}_n(x)-F(x)) \rightarrow \mathcal{N}(0,F(x)(1-F(x)))$

Chúng tôi có thể sử dụng điều này để tạo các CI khác nhau xung quanh mỗi :$\hat{F}_n(x)$

$\hat{F}_n(x) \pm 1.96\frac{\hat{F}_n(x)(1-\hat{F}_n(x))}{n}$ ,

vì , là ước tính tốt nhất của chúng tôi về .F n ( x ) F ( x $E(\hat{F}_n(x))=F(x)$$\hat{F}_n(x)$$F(x)$

Sử dụng mã R sau:

#confidenc ebands calculation:
sim_norm<-rnorm(100)
plot(sim_norm)
hist(sim_norm)
sim_norm_sort<-sort(sim_norm)
n = sum(!is.na(sim_norm_sort))
plot(sim_norm_sort, (1:n)/n, type = 's', ylim = c(0, 1), 
     xlab = 'sample', ylab = '', main = 'Empirical Cumluative Distribution')

# Dvoretzky–Kiefer–Wolfowitz inequality:
# P ( sup|F_n - F| > epsilon  ) leq 2*exp(-2n*epsilon^2)
# set alpha to 0.05 and alpha=2*exp(-2n*epsilon^2):
# --> epsilon_n = sqrt(-log(0.5*0.05)/(2*n))
#
#lower and upper bands:
L<-1:n
U<-1:n


  epsilon_i = sqrt(log(2/0.05)/(2*n))

  L=pmax(1:n/n-epsilon_i, 0)
  U=pmin(1:n/n+epsilon_i, 1)
  lines(sim_norm_sort, U, col="blue")
  lines(sim_norm_sort, L, col="blue")

#using clt:
U2=(1:n/n)+1.96*sqrt( (1:n/n)*(1-1:n/n)/n )
L2=(1:n/n)-1.96*sqrt( (1:n/n)*(1-1:n/n)/n )
lines(sim_norm_sort, L2, col="red")
lines(sim_norm_sort, U2, col="red")

Chúng tôi nhận được:

Chúng tôi thấy rằng các dải màu đỏ (từ phương pháp CLT) cung cấp cho chúng tôi các dải tin cậy hẹp hơn.

EDIT : Như @Kjetil B Halvorsen đã chỉ ra - hai loại ban nhạc này là các loại khác nhau. Tôi đã có @Glen_b giải thích chính xác ý của anh ấy:

Các loại khác nhau của các nhóm tự tin. Với dải tin cậy theo chiều thuận, bạn mong đợi một số điểm bên ngoài băng ngay cả khi đó là phân phối mà dữ liệu được rút ra. Với các ban nhạc đồng thời, bạn sẽ không. Nếu bạn có dải tần 95%, trung bình 5% số điểm cho phân phối chính xác sẽ nằm ngoài dải. Với các dải đồng thời, có 5% khả năng điểm có độ lệch lớn nhất nằm ngoài.

Rất cám ơn cả hai!