Các bước tính toán Bayesian và Thường xuyên

Bài viết này chứa một ví dụ về triết lý Bayesian và Thường xuyên.

Một loại thuốc cũ điều trị thành công 70% bệnh nhân. Để thử nghiệm một loại thuốc mới, các nhà nghiên cứu cung cấp cho 100 bệnh nhân, 83 trong số đó phục hồi. Dựa trên bằng chứng này, chúng ta nên chắc chắn rằng thuốc mới tệ hơn, giống hệt hoặc tốt hơn thuốc cũ như thế nào?

Giải pháp Bayes: Theo giả định tiêu chuẩn, xác suất 'sau' của thuốc mới tốt hơn thuốc cũ là 0,89, xác suất tương tự là 0,11 (bắt đầu từ 0,5 trước) và xác suất xấu hơn thực tế là bằng không.

Giải pháp thường xuyên: Trong trường hợp của chúng tôi, chúng tôi cần một phần nhỏ thời gian chúng tôi sẽ thấy 83 hoặc nhiều hơn, hoặc 57 hoặc ít hơn phục hồi, là 0,006. Đại lượng này được gọi là giá trị p. Một quy ước bị chỉ trích là giá trị p nhỏ hơn 0,05 ngụ ý bằng chứng chống lại giả thuyết khống, và kết quả 0,006 của chúng tôi chắc chắn đủ điều kiện như vậy.

Câu hỏi của tôi: Bayesian và các giải pháp thường xuyên được đưa ra như thế nào? Vui lòng cung cấp các bước. Cảm ơn.

— cảm ơn trước
nguồn

Các từ "Gaussian" và "định lý giới hạn trung tâm" có liên quan gì đến vấn đề đặc biệt này? Vui lòng chỉnh sửa câu hỏi của bạn để làm rõ suy nghĩ của bạn đã khiến bạn sử dụng chúng như thế nào - nếu không, vui lòng xóa chúng, vì nó khá khó hiểu.

— Sycorax nói Phục hồi lại

@ user777 Tôi đã xóa 2 điều khoản. Lý do tôi đã sử dụng chúng ở nơi đầu tiên là Phân phối giới hạn trung tâm và phân phối Gaussian (tức là phân phối chuẩn) là nền tảng của các giá trị p. Nhưng có lẽ tôi đã đạt được . Do đó loại bỏ.

— cảm ơn_in_advance

Điều đó chỉ đúng nếu phân phối tham chiếu là bình thường. Ví dụ, sự phân bố tham khảo cho một thử nghiệm độc lập là ... .

χ^{2}

$\chi^2$

χ^{2}

$\chi^2$

— Sycorax nói Phục hồi lại

@ user777 Cảm ơn. Đánh giá cao sự làm rõ.

— cảm ơn_in_advance

Brendon Brewer (tác giả) đã viết một bài đăng tiếp theo trên blog của mình, trong đó nêu chi tiết về nitty-gritty cho cả tính toán xác suất sau và giá trị p.

Các tính toán giá trị p là khá chuẩn, giả sử khả năng nhị thức. Mô hình Bayes mà ông sử dụng được định nghĩa là

\begin{aligned} p & \sim dirac-uniform-mixture \\ x | p & \sim binomial(100, p) \end{aligned}

$\begin{align*} p & \sim \text{dirac-uniform-mixture} \\ x \, | \, p & \sim \text{binomial(100, p)} \end{align*}$

trong đó hỗn hợp Dirac / thống nhất được xác định cho bởi $p \in [0, 1]$

π (p) = \frac{1}{2} δ (p - 0.7) + \frac{1}{2} .

$\begin{equation*} \pi(p) = \frac{1}{2}\delta(p - 0.7) + \frac{1}{2}. \end{equation*}$

Vì vậy, đưa ra một mô hình, bạn có thể tính toán xác suất sau theo cách tiêu chuẩn. Brendon (một cách hợp lý) sử dụng một xấp xỉ rời rạc trong các chi tiết kỹ thuật của mình, nhưng nó có thể mang tính minh họa để nghiền nát mọi thứ một cách phân tích. Tôi sẽ chứng minh làm thế nào người ta có thể đạt được xác suất 0,89 sau của thuốc mới tốt hơn thuốc cũ; các tính toán khác tiến hành tương tự.

Hậu thế được định nghĩa bởi

π (p | x) = \frac{π (x | p) π (p)}{π (x)}

$\begin{equation*} \pi(p \, | \, x) = \frac{\pi(x \, | \, p) \pi(p)}{\pi(x)} \end{equation*}$

trong đó là hàm khối nhị thức và hàm chuẩn hóa cho chung là $\pi(x \, | \, p)$ $\pi(x)$ $n$

\begin{aligned} π (x) & = \int_{0}^{1} π (x | p) π (p) d p \\ = \frac{1}{2} (\binom{n}{x}) (\int_{0}^{1} δ (p - 0.7) p^{x} (1 - p)^{n - x} d p + \int_{0}^{1} p^{x} (1 - p)^{n - x} d p) \\ = \frac{1}{2} (\binom{n}{x}) ({0.7}^{x} {0.3}^{n - x} + B (x + 1, n - x + 1)) . \end{aligned}

$\begin{align*} \pi(x) & = \int_{0}^{1} \pi(x \, | \, p)\pi(p) dp \\ & = \frac{1}{2}{n \choose x}\left(\int_{0}^{1}\delta(p - 0.7)p^x (1 - p)^{n - x}dp + \int_{0}^{1}p^x (1 - p)^{n - x} dp \right) \\ & = \frac{1}{2}{n \choose x}\left(0.7^x 0.3^{n - x} + B(x + 1, n - x + 1)\right). \end{align*}$

Ở đây tôi đã sử dụng thực tế là (cho đủ ) và rằng cho chức năng beta (xem tại đây ). $\int \delta(t-x)f(t)dt = f(x)$ $f$ $\int_{0}^{1}p^{\alpha - 1}(1 - p)^{\beta - 1}dp = B(\alpha, \beta)$ $B$

Với hậu thế, người ta chỉ cần thực hiện một số tích hợp để tìm : $P(p > 0.7 \, | \, x = 83)$

\begin{aligned} \int_{0.7}^{1} π (p | x = 83) d p & = \frac{1}{π (x = 83)} \int_{0.7}^{1} (\frac{1}{2} δ (p - 0.7) + \frac{1}{2}) π (x = 83 | p) d p \\ = \frac{1}{π (x = 83)} \int_{0.7}^{1} \frac{1}{2} (\binom{100}{83}) p^{83} (1 - p)^{17} d p \\ = \frac{\int_{0.7}^{1} p^{83} (1 - p)^{17} d p}{{0.7}^{83} {0.3}^{17} + B (84, 18)} \\ = 0.8907679. \end{aligned}

$\begin{align*} \int_{0.7}^{1} \pi(p \, | \, x = 83) dp & = \frac{1}{\pi(x = 83)} \int_{0.7}^{1} \left(\frac{1}{2}\delta(p - 0.7) + \frac{1}{2}\right)\pi(x = 83 \, | \, p) dp \\ & = \frac{1}{\pi(x = 83)} \int_{0.7}^{1} \frac{1}{2} {100 \choose 83} p^{83} (1 - p)^{17} dp \\ & = \frac{\int_{0.7}^{1} p^{83} (1 - p)^{17} dp}{0.7^{83} 0.3^{17} + B(84, 18)} \\ & = 0.8907679. \end{align*}$

— jtobin
nguồn