Mối quan hệ giữa sự kiện và biến ngẫu nhiên là gì?

Tôi đã được thông báo rằng một sự kiện chỉ là một biến ngẫu nhiên đã được chỉ định và các biến ngẫu nhiên là một sự khái quát của các sự kiện. Tuy nhiên, tôi không thể liên hệ điều đó với định nghĩa của một sự kiện như là một tập hợp con của không gian mẫu . Hơn nữa, một sự kiện có thể xảy ra hoặc không, trong khi một biến ngẫu nhiên có thể có nhiều kết quả.

Là các sự kiện như biến ngẫu nhiên nhị phân? Nếu vậy, thì mỗi kết quả của một biến ngẫu nhiên có thực sự là một sự kiện không?

Tôi cũng cần biết hai khái niệm này liên quan với nhau như thế nào về sự độc lập có điều kiện.

Hãy để thử nghiệm được đưa ra bởi trong đó là không gian mẫu, là tập hợp tất cả các sự kiện (tập con của mà chúng ta gán xác suất) và là thước đo xác suất. Điểm của được ký hiệu là và là "sự kiện cơ bản" (hoặc "kết quả"). Các biến ngẫu nhiên trong thí nghiệm này là các hàm và được viết như , có nghĩa là giá trị của chúng được xác định bởi kết quả cơ bản .X B X P X ω f : X ↦ R f ( ω ) $\DeclareMathOperator{\P}{\mathbb{P}} \DeclareMathOperator{\E}{\mathbb{E}} (\mathbb{X},\mathbb{B}, \P)$$\mathbb{X}$$\mathbb{B}$$\mathbb{X}$$\P$$\mathbb{X}$$\omega$$f \colon \mathbb{X}\mapsto \mathbb{R}$$f(\omega)$$\omega$

Tương ứng với sự kiện là biến ngẫu nhiên chỉ báo Theo nghĩa này, các sự kiện có thể được nhúng dưới dạng tập hợp con của tất cả các biến ngẫu nhiên được xác định cho thiết lập thử nghiệm này . Sau đó, xác suất xảy ra có thể được viết dưới dạng kỳ vọng tôi Một ( ω ) = { 1 nếu  A  xảy ra, có nghĩa là,  ω ∈ A . 0 nếu  A  không xảy ra, đó là  w ∉ Một . Một P ( A ) = E tôi Một$A$

Đối với câu hỏi bổ sung trong các nhận xét: Nếu và độc lập (dưới dạng sự kiện), thì và là độc lập (dưới dạng các biến ngẫu nhiên). "chúng ta có thể nói rằng I_A = 1 và I_B = 1 là độc lập không?" Chà, đơn giản là sự kiện , vì vậy tôi nghĩ bạn có thể trả lời ngay bây giờ!B I A I B I A = 1 $A$$B$$I_A$$I_B$$I_A=1$$A$

$\{0,1\}$$\{False, True\}$

Bạn nêu quan điểm:

một sự kiện có thể xảy ra hoặc không trong khi một biến ngẫu nhiên có thể có nhiều kết quả.

Tôi nghĩ rằng các văn bản xác suất thường không đủ để mô tả lý do tại sao các tiên đề của xác suất là như vậy, vì vậy tôi sẽ vẫy tay rất nhiều:

$X$$f: X \to [0,1]$$X$$f(x) = 1/6$

$\mu: \mathcal{P}(X) \to [0,1]$$\mathcal{P}$$\mu$$f$

$X$$\Omega$

$X$$\Omega \to \mathbb{N}$$\Omega$

Đối với mục đích hiểu biết, chúng tôi sẽ giới hạn bản thân trong không gian mẫu hữu hạn.

Đầu tiên trong câu trả lời cho câu hỏi của bạn, không, kết quả của một biến ngẫu nhiên không phải là một sự kiện. Một biến ngẫu nhiên lấy đầu vào của nó là một phần tử của không gian mẫu và xuất ra một số thực.

Ví dụ: giả sử chúng ta vẽ một quả bóng từ một chiếc bình có 3 quả bóng có nhãn A, B và C. Không gian mẫu của tất cả các quả bóng trong chiếc bình là S = {A, B, C}. Có 8 sự kiện có thể xảy ra: {}, {A}, {B}, {C}, {A, B}, {A, C}, {B, C}, {A, B, C}. Sự kiện {B, C} có nghĩa là quả bóng được vẽ là B hoặc C.

Một biến ngẫu nhiên là một hàm có giá trị thực trên không gian mẫu. Nếu biến ngẫu nhiên X gán 10 cho A, 10 cho B và 30 cho C thì nếu A được rút ra, giá trị nhận ra của X là 10, một số thực, không phải là một sự kiện.

Nếu x là một số thì sự kiện tương ứng với X = x là tập hợp các phần tử không gian mẫu được ánh xạ bởi X thành x. Trong ví dụ hiện tại, sự kiện tương ứng với X = 10 là {A, B} vì cả A và B được ánh xạ thành 10 và C thì không.

Mối quan hệ trên giữa các biến ngẫu nhiên và các sự kiện mở rộng sang các khái niệm khác. Ví dụ, các biến ngẫu nhiên X và Y là độc lập nếu với mỗi cặp số thực x và y thì các sự kiện X = x và Y = y là độc lập. Tương tự X và Y độc lập có điều kiện với Z nếu các sự kiện X = x và Y = y độc lập có điều kiện với sự kiện Z = z.

(Tôi giả sử ở đây rằng câu hỏi là về mối quan hệ giữa các sự kiện và các biến ngẫu nhiên chứ không phải về các định nghĩa về xác suất, tính độc lập và tính độc lập có điều kiện mà chúng ta đã giả định.)