Phân phối tỷ lệ giữa hai biến ngẫu nhiên thống nhất độc lập

17

Supppse và được phân phối đồng đều tiêu chuẩn trong và chúng độc lập, PDF của gì? $X$ $Y$ $[0, 1]$ $Z = Y / X$

Câu trả lời từ một số sách giáo khoa lý thuyết xác suất là

f_{Z} (z) = {\begin{cases} 1 / 2, & if 0 \leq z \leq 1 \\ 1 / (2 z^{2}), & if z > 1 \\ 0, & otherwise . \end{cases}

$f_Z(z) = \begin{cases} 1/2, & \text{if } 0 \le z \le 1 \\ 1/(2z^2), & \text{if } z > 1 \\ 0, & \text{otherwise}. \end{cases}$

Tôi tự hỏi, bằng cách đối xứng, không nên ? Đây không phải là trường hợp theo PDF ở trên. $f_Z(1/2) = f_Z(2)$

probability derived-distributions

— qed
nguồn

Tên miền của và gì?

X

$X$

Y

$Y$

— Sobi

vi.wikipedia.org/wiki/Ratio_distribution

— kjetil b halvorsen 8/12/2015

2

Tại sao bạn mong đợi điều này là đúng? Hàm mật độ cho bạn biết xác suất đóng gói chặt chẽ như thế nào trong vùng lân cận của một điểm và rõ ràng khó khăn hơn khi ở gần hơn (ví dụ, xem xét luôn có thể là dù gì là, nhưng khi ).

Z

$Z$

2

$2$

1 / 2

$1/2$

Z

$Z$

1 / 2

$1/2$

X

$X$

Z < 2

$Z < 2$

X > 1 / 2

$X > 1/2$

— DSaxton

2

Bản sao có thể có của Phân phối tỷ lệ đồng phục: Điều gì sai?

— Tây An

3

Tôi không nghĩ đó là một bản sao, câu hỏi đó đang tìm kiếm PDF, ở đây tôi có bản PDF, tôi chỉ đang đặt câu hỏi về tính chính xác của nó (có lẽ khá ngây thơ).

— qed 8/12/2015

19

Logic đúng là với độc lập , $X, Y \sim U(0,1)$ và $Z=\frac YX$ có cùngphân phốivà vì vậy với $Z^{-1} =\frac XY$ $0 < z < 1$ trong đó phương trình với CDF sử dụng thực tế là

\begin{aligned} P {\frac{Y}{X} \leq z} & = P {\frac{X}{Y} \leq z} \\ = P {\frac{Y}{X} \geq \frac{1}{z}} \\ F_{Z} (z) & = 1 - F_{Z} (\frac{1}{z}) \end{aligned}

$\begin{align} P\left\{\frac YX \leq z\right\} &= P\left\{\frac XY \leq z\right\}\\ &= P\left\{\frac YX \geq \frac 1z \right\}\\ \left.\left.F_{Z}\right(z\right) &= 1 - F_{Z}\left(\frac 1z\right) \end{align}$

là một biến ngẫu nhiên liên tục và do đó

. Do đó pdf của

thỏa mãn

\frac{Y}{X}

$\frac YX$

P {Z \geq a} = P {Z > a} = 1 - F_{Z} (a)

$P\{Z \geq a\} = P\{Z > a\} = 1-F_Z(a)$

Z

$Z$

Do đó

f_{Z} (z) = z^{- 2} f_{Z} (z^{- 1}), 0 < z < 1.

$f_Z(z) = z^{-2}f_Z(z^{-1}), \quad 0 < z < 1.$

chứ không phải

f_{Z} (\frac{1}{2}) = 4 f_{Z} (2)

$f_Z(\frac 12) = 4f_Z(2)$

như bạn nghĩ nó nên như vậy.

f_{Z} (\frac{1}{2}) = f_{Z} (2)

$f_Z(\frac 12) = f_Z(2)$

— Dilip Sarwate
nguồn

14

Phân phối này là đối xứng - nếu bạn nhìn nó đúng cách.

Đối xứng mà bạn có (chính xác) quan sát được là và phải được phân phối giống hệt nhau. Khi làm việc với các tỷ lệ và quyền hạn, bạn thực sự làm việc trong nhóm nhân của các số thực dương. Các analog của địa điểm biện pháp bất biến trên phụ số thực là biện pháp bất biến quy mô $Y/X$ $X/Y = 1/(Y/X)$ $d\lambda=dx$ $\mathbb{R}$ $d\mu = dx/x$ trên chất nhân nhóm các số thực dương. Nó có những đặc tính mong muốn: $\mathbb{R}^{*}$

là bất biến dưới phép biến đổi với mọi hằng số dương : $d\mu$ $x\to ax$ $a$
$d μ (a x) = \frac{d (a x)}{a x} = \frac{d x}{x} = d μ .$ $d\mu(ax) = \frac{d(ax)}{ax} = \frac{dx}{x} = d\mu.$
là hiệp biến dưới sự biến đổi cho số khác không : $d\mu$ $x\to x^b$ $b$
$d μ (x^{b}) = \frac{d (x^{b})}{x^{b}} = \frac{b x^{b - 1} d x}{x^{b}} = b \frac{d x}{x} = b d μ .$ $d\mu(x^b) = \frac{d(x^b)}{x^b} = \frac{b x^{b-1} dx}{x^b} = b\frac{dx}{x} = b\, d\mu.$
được chuyển thành qua mũ: $d\mu$ $d\lambda$ Tương tự như vậy,được chuyển trở lạiqua logarit.
$d μ (e^{x}) = \frac{d e^{x}}{e^{x}} = \frac{e^{x} d x}{e^{x}} = d x = d λ .$ $d\mu(e^x) = \frac{de^x}{e^x} = \frac{e^x dx}{e^x} = dx = d\lambda.$ $d\lambda$ $d\mu$

(3) thiết lập một đẳng cấu giữa các nhóm đo và $(\mathbb{R}, +, d\lambda)$ . Phản xạ trên không gian phụ gia tương ứng với nghịch đảo trên không gian nhân, vì . $(\mathbb{R}^{*}, *, d\mu)$ $x \to -x$ $x \to 1/x$ $e^{-x} = 1/e^x$

Hãy áp dụng những quan sát này bằng cách viết các yếu tố xác suất về (hiểu ngầm rằng ) chứ không phải là : $Z=Y/X$ $d\mu$ $z \gt 0$ $d\lambda$

f_{Z} (z) d z = g_{Z} (z) d μ = \frac{1}{2} {\begin{cases} 1 d z = z d μ, & if 0 \leq z \leq 1 \\ \frac{1}{z^{2}} d z = \frac{1}{z} d μ, & if z > 1. \end{cases}

$f_Z(z)\,dz = g_Z(z)\,d\mu = \frac{1}{2}\begin{cases} 1\,dz = z\, d\mu, & \text{if } 0 \le z \le 1 \\ \frac{1}{z^2}dz = \frac{1}{z}\, d\mu, & \text{if } z > 1. \end{cases}$

Nghĩa là, PDF liên quan đến thước đo bất biến $d\mu$ là , tỷ lệ với $g_Z(z)$ khi và khi , gần với những gì bạn đã mong đợi. $z$ $0\lt z \le 1$ $1/z$ $1 \le z$

$d\mu$ $k$ trở thành $x^{k-1}e^x\,dx$ $x^k e^x d\mu$ $d\mu$ $d\lambda$ $x$

Ý tưởng về một biện pháp bất biến trên một nhóm cũng rất chung chung và có các ứng dụng trong lĩnh vực thống kê đó, nơi các vấn đề thể hiện một số bất biến dưới các nhóm biến đổi (chẳng hạn như thay đổi đơn vị đo, xoay trong các chiều cao hơn, v.v. ).

— whuber
nguồn

3

Trông giống như một câu trả lời rất sâu sắc. Thật đáng tiếc tôi không hiểu nó vào lúc này. Tôi sẽ kiểm tra lại sau.

— qed 8/12/2015

4

Nếu bạn nghĩ về mặt hình học ...

$X$ $Y$ $Z = Y/X$ $Y/X$ $Z$ $X=1$ $X$ $X=1$

$Z$ $(a,b)$ $X=1$ $(1,a)$ $(1,b)$ $(X,Y) \in U = [0,1]\times[0,1]$ $0 \leq a < b \leq 1$ $\frac{1}{2}(1-0)(b-a)$ $X=1$ $0$ $1$ $(X,Y)$ $Z$

$b>1$ $U$ $X = 1$ $1 \leq a < b$ $(1,a)$ $(1,b)$ $U$ $(1/a,1)$ $(1/b,1)$ $\frac{1}{2}(\frac{1}{a} - \frac{1}{b})(1-0)$ $(a,b)$

$f_Z(1/2)$ $X=1$ $f_Z(2)$

— Tháp Eric
nguồn

3

Chỉ cần cho hồ sơ, trực giác của tôi là hoàn toàn sai. Chúng tôi đang nói về mật độ , không phải xác suất . Logic đúng là kiểm tra xem

\int_{1}^{k} f_{Z} (z) d z = \int_{1 / k}^{1} f_{Z} (z) = \frac{1}{2} (1 - \frac{1}{k})

$\int_1^k f_Z(z) dz = \int_{1/k}^1 f_Z(z) = \frac{1}{2}(1 - \frac{1}{k})$

và đây thực sự là trường hợp.

— qed
nguồn

1

$Z=Y/X$ $(0,1)$

— lzstat
nguồn