Giá trị kỳ vọng của các biến ngẫu nhiên iid

Tôi đã bắt gặp đạo hàm này mà tôi không hiểu: Nếu là các mẫu ngẫu nhiên có kích thước n được lấy từ một quần thể có nghĩa là và phương sai , thì$X_1, X_2, ..., X_n$$\mu$$\sigma^2$

$\bar{X} = (X_1 + X_2 + ... + X_n)/n$

$E(\bar{X}) = E(X_1 + X_2 + ... + X_n)/n = (1/n)(E(X_1) + E(X_2) + ... + E(X_n))$

$E(\bar{X}) = (1/n)(\mu + \mu + ...n ~\text{times}) = \mu$

Đây là nơi tôi bị lạc. Đối số được sử dụng là vì chúng được phân phối giống hệt nhau. Trong thực tế điều này không đúng. Giả sử tôi có một mẫu, và sau đó nếu chọn ngẫu nhiên 2 số có thay thế và lặp lại quy trình này 10 lần, thì tôi nhận được 10 mẫu: (5, 4) (2, 5) (1, 2) (4, 1) (4, 6) (2, 4) (6, 1) (2, 4) (3, 1) (5, 1). Đây là giao diện của 2 biến ngẫu nhiên . Bây giờ nếu tôi lấy giá trị kỳ vọng của tôi nhận được,$E(X_i) = \mu$$S=\{1,2,3,4,5,6\}$$X_1, X_2$$X_1$

$E(X_1) = 1.(1/10) + 2.(3/10) + 3.(1/10) + 4.(2/10) + 5.(2/10) + 6.(1/10) = 34/10 = 3.4$

Nhưng giá trị dự kiến ​​của dân số là 3,5. Điều gì thực sự sai trong lý luận của tôi?

Trước hết, không phải là mẫu. Đây là các biến ngẫu nhiên được chỉ ra bởi Tim. Giả sử bạn đang thực hiện một thí nghiệm trong đó bạn ước tính lượng nước trong một loại thực phẩm; cho rằng bạn thực hiện 100 phép đo hàm lượng nước cho 100 mặt hàng thực phẩm khác nhau. Mỗi lần bạn nhận được một giá trị của hàm lượng nước. Ở đây, hàm lượng nước là biến ngẫu nhiên và Bây giờ giả sử có tổng số 1000 mặt hàng thực phẩm tồn tại trên thế giới. 100 mặt hàng thực phẩm khác nhau sẽ được gọi là mẫu của 1000 mặt hàng thực phẩm này. Lưu ý rằng hàm lượng nước là biến ngẫu nhiên và 100 giá trị của hàm lượng nước thu được tạo thành một mẫu. $X_1, X_2,...,X_n$

Giả sử bạn lấy mẫu ngẫu nhiên n giá trị từ phân phối xác suất, độc lập và giống hệt nhau, Người ta cho rằng . Bây giờ bạn cần tìm ra giá trị mong đợi của . Vì mỗi được lấy mẫu độc lập và giống hệt nhau, nên giá trị mong đợi của mỗi là . Do đó, bạn nhận được .$E(X)=\mu$$\bar{X}$$X_i$$X_i$$\mu$$\frac{n\mu}{n} =\mu$

Phương trình thứ ba trong câu hỏi của bạn là điều kiện để một công cụ ước tính là công cụ ước tính không thiên vị của tham số dân số. Điều kiện để một công cụ ước tính không thiên vị là

trong đó theta là tham số dân số và là tham số được ước tính theo mẫu.$\bar{\theta}$

Trong ví dụ của bạn, dân số của bạn là và bạn đã được cung cấp một mẫu gồm giá trị iid là . Câu hỏi là làm thế nào bạn ước tính dân số có nghĩa là cho mẫu này. Theo công thức trên, trung bình của mẫu là một ước lượng không thiên vị của trung bình dân số. Công cụ ước tính không thiên vị không cần phải bằng giá trị trung bình thực tế, nhưng nó gần với giá trị trung bình như bạn có thể nhận được thông tin này.$\{1,2,3,4,5,6\}$$10$$\{5,2,1,4,4,2,6,2,3,5\}$