Phân phối sự khác biệt giữa hai phân phối bình thường

Tôi có hai hàm mật độ xác suất của phân phối bình thường:

$$f_1(x_1 \; | \; \mu_1, \sigma_1) = \frac{1}{\sigma_1\sqrt{2\pi} } \; e^{ -\frac{(x-\mu_1)^2}{2\sigma_1^2} }$$

và

$$f_2(x_2 \; | \; \mu_2, \sigma_2) = \frac{1}{\sigma_2\sqrt{2\pi} } \; e^{ -\frac{(x-\mu_2)^2}{2\sigma_2^2} }$$

Tôi đang tìm hàm mật độ xác suất của khoảng cách giữa và . Tôi nghĩ điều đó có nghĩa là tôi đang tìm hàm mật độ xác suất của. Đúng không? Làm thế nào để tôi tìm thấy điều đó?x 2 | x 1 - x 2 $x_1$$x_2$$|x_1 - x_2|$

Câu hỏi này chỉ có thể được trả lời như đã nêu bằng cách giả sử hai biến ngẫu nhiên và được điều chỉnh bởi các phân phối này là độc lập. X $X_1$$X_2$ X= X 2 - X 1 μ= μ 2 - μ 1 σ 2 = σ 2 1 + σ 2 2 ( X 1 , X 2 ) Điều này tạo ra sự khác biệt của họ Bình thường với trung bình và phương sai . (Giải pháp sau đây có thể dễ dàng được khái quát hóa cho bất kỳ phân phối chuẩn bivariate nào của .) Do đó, biến$X = X_2-X_1$$\mu = \mu_2-\mu_1$$\sigma^2=\sigma_1^2 + \sigma_2^2$$(X_1, X_2)$

$$Z = \frac{X-\mu}{\sigma} = \frac{X_2 - X_1 - (\mu_2 - \mu_1)}{\sqrt{\sigma_1^2 + \sigma_2^2}}$$

có phân phối chuẩn thông thường (nghĩa là, với giá trị trung bình bằng 0 và phương sai đơn vị) và

$$X = \sigma \left(Z + \frac{\mu}{\sigma}\right).$$

Cách diễn đạt

$$|X_2 - X_1| = |X| = \sqrt{X^2} = \sigma\sqrt{\left(Z + \frac{\mu}{\sigma}\right)^2}$$

thể hiện sự khác biệt tuyệt đối như là một phiên bản thu nhỏ của căn bậc hai của phân phối chi bình phương không trung tâm với một mức độ tự do và tham số phi tập trung . Một phân phối chi bình phương không trung tâm với các tham số này có yếu tố xác suất$\lambda=(\mu/\sigma)^2$

$$f(y)dy = \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{2 \pi } } e^{\frac{1}{2} (-\lambda -y)} \cosh \left(\sqrt{\lambda y} \right) \frac{dy}{y},\ y \gt 0.$$

Viết cho thiết lập sự tương ứng một-một giữa và căn bậc hai của nó, dẫn đến x > 0 $y=x^2$$x \gt 0$$y$

$$f(y)dy = f(x^2) d(x^2) = \frac{\sqrt{x^2}}{\sqrt{2 \pi } } e^{\frac{1}{2} (-\lambda -x^2)} \cosh \left(\sqrt{\lambda x^2} \right) \frac{dx^2}{x^2}.$$

Đơn giản hóa điều này và sau đó thay đổi kích thước bằng cho mật độ mong muốn,$\sigma$

$$f_{|X|}(x) = \frac{1}{\sigma}\sqrt{\frac{2}{\pi}} \cosh\left(\frac{x\mu}{\sigma^2}\right) \exp\left(-\frac{x^2 + \mu^2}{2 \sigma^2}\right).$$

---

Kết quả này được hỗ trợ bởi các mô phỏng, chẳng hạn như biểu đồ 100.000 bản vẽ độc lập này(được gọi là "x" trong mã) với các tham số . Trên đó được vẽ đồ thị của , trùng khớp với các giá trị biểu đồ.μ 1 = - 1 , μ 2 = 5 , σ 1 = 4 , σ 2 = 1 f | X $|X|=|X_2-X_1|$$\mu_1=-1, \mu_2=5, \sigma_1=4, \sigma_2=1$$f_{|X|}$

Các Rmã cho mô phỏng này sau.

#
# Specify parameters
#
mu <- c(-1, 5)
sigma <- c(4, 1)
#
# Simulate data
#
n.sim <- 1e5
set.seed(17)
x.sim <- matrix(rnorm(n.sim*2, mu, sigma), nrow=2)
x <- abs(x.sim[2, ] - x.sim[1, ])
#
# Display the results
#
hist(x, freq=FALSE)
f <- function(x, mu, sigma) {
 sqrt(2 / pi) / sigma * cosh(x * mu / sigma^2) * exp(-(x^2 + mu^2)/(2*sigma^2)) 
}
curve(f(x, abs(diff(mu)), sqrt(sum(sigma^2))), lwd=2, col="Red", add=TRUE)

Tôi đang cung cấp một câu trả lời bổ sung cho câu trả lời của @whuber theo nghĩa là những gì một người không thống kê (tức là một người không biết nhiều về phân phối chi-vuông không trung tâm với một mức độ tự do, v.v.) có thể viết, và rằng một tân sinh viên có thể theo dõi tương đối dễ dàng.

Mượn giả định về sự độc lập cũng như ký hiệu từ câu trả lời của người bán hàng , trong đó và . Do đó, với , và tất nhiên, với . Nó theo sau sự khác biệt đối với mà μ = μ 1 - μ 2 σ 2 = σ 2 1 + σ 2 2 x ≥ 0 F | Z | ( x $Z = X_1-X_2 \sim N(\mu, \sigma^2)$$\mu = \mu_1-\mu_2$$\sigma^2 = \sigma_1^2+\sigma_2^2$$x \geq 0$

$$\begin{align} F_{|Z|}(x) &\triangleq P\{|Z| \leq x\}\\ &= P\{-x \leq Z \leq x\}\\ &= P\{-x < Z \leq x\} &\scriptstyle{\text{since}~Z~\text{is a continuous random variable}}\\ &= F_Z(x) - F_Z(-x), \end{align}$$ $F_{|Z|}(x) = 0$$x < 0$$x$ $$\begin{align}f_{|Z|}(x) &\triangleq \frac{\partial}{\partial x} F_{|Z|}(x)\\ &= [f_Z(x) + f_Z(-x)]\mathbf 1_{(0,\infty)}(x)\\ &= \left[ \frac{\exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)}{\sigma\sqrt{2\pi}} + \frac{\exp\left(-\frac{(x+\mu)^2}{2\sigma^2}\right)}{\sigma\sqrt{2\pi}}\right]\mathbf 1_{(0,\infty)}(x)\\ &= \frac{\displaystyle\exp\left(-\frac{x^2+\mu^2}{2\sigma^2}\right)}{\sigma\sqrt{2\pi}}\left(\exp\left(\frac{x\mu}{\sigma^2}\right) + \exp\left(\frac{x\mu}{\sigma^2}\right)\right)\mathbf 1_{(0,\infty)}(x)\\ & = \frac{1}{\sigma}\sqrt{\frac{2}{\pi}} \cosh\left(\frac{x\mu}{\sigma^2}\right) \exp\left(-\frac{x^2 + \mu^2}{2 \sigma^2}\right)\mathbf 1_{(0,\infty)}(x) \end{align}$$ là kết quả chính xác giống như trong câu trả lời của người đánh bóng, nhưng đến trong suốt hơn.

Phân phối của một sự khác biệt của hai biến thể phân phối bình thường X và Y cũng là một phân phối bình thường, giả sử X và Y là độc lập (cảm ơn Mark đã nhận xét). Đây là một dẫn xuất: http://mathworld.wolfram.com/N normalDifferenceDistribution.html

Ở đây bạn đang hỏi sự khác biệt tuyệt đối, dựa trên câu trả lời của người bán hàng và nếu chúng tôi giả sử sự khác biệt về trung bình của X và Y là 0, thì đó chỉ là một phân phối bình thường với mật độ gấp hai lần (cảm ơn Dilip cho nhận xét).