Là quy tắc chung là điều kiện cần thiết để tổng các biến ngẫu nhiên bình thường là bình thường?

12

Trong các bình luận sau câu trả lời này của tôi cho một câu hỏi liên quan, Người dùng ssdecontrol và Glen_b đã hỏi liệu tính quy phạm chung của và có cần thiết để khẳng định tính quy tắc của tổng không? Tất nhiên, sự bình thường chung đó là đủ , nổi tiếng. Câu hỏi bổ sung này không được giải quyết ở đó, và có lẽ đáng để xem xét theo đúng nghĩa của nó. $X$ $Y$ $X+Y$

Vì tính quy tắc chung hàm ý tính quy tắc cận biên, tôi hỏi

Có tồn tại biến ngẫu nhiên bình thường và sao cho là biến ngẫu nhiên bình thường, nhưng và không phải là biến ngẫu nhiên bình thường chung? $X$ $Y$ $X+Y$ $X$ $Y$

Nếu và không bắt buộc phải có phân phối bình thường, thì có thể dễ dàng tìm thấy các biến ngẫu nhiên bình thường như vậy. Một ví dụ có thể được tìm thấy trong câu trả lời trước của tôi (liên kết được đưa ra ở trên). Tôi tin rằng câu trả lời cho câu hỏi được tô sáng ở trên là Có, và đã đăng (những gì tôi nghĩ là) một ví dụ như một câu trả lời cho câu hỏi này. $X$ $Y$

— Dilip Sarwate
nguồn

2

Làm thế nào để bạn muốn đối phó với phân phối thoái hóa? Ví dụ: nếu

X

$X$ là một tiêu chuẩn bình thường và

Y = - 2 X

$Y=-2X$ , thì phân phối chung của

X

$X$ và

Y

$Y$ là một phân phối bình thường suy biến và

X + Y

$X+Y$ là một tiêu chuẩn bình thường.

— Brian Borchers

@BrianBorchers

X

$X$ và

Y = - 2 X

$Y = -2X$ là các biến ngẫu nhiên bình thường chung mặc dù phân phối bị suy biến như bạn nói. Định nghĩa tiêu chuẩn bình thường chung là

X

$X$ và

Y

$Y$ là cùng bình thường nếu

a X + b Y

$aX+bY$ là bình thường đối với tất cả các lựa chọn của

(a, b)

$(a,b)$ . Ở đây,

(a, b) = (0, 0)

$(a,b) = (0,0)$ là một trường hợp suy biến mà dù sao cũng được gọi là một biến ngẫu nhiên bình thường như một phép lịch sự.

— Dilip Sarwate

10

Đặt $U,V$ là iid $N(0,1)$ .

Bây giờ biến đổi $(U,V) \to (X,Y)$ như sau:

Trong góc phần tư thứ nhất (tức là ) cho và . $U>0,V>0$ $X=\max(U,V)$ $Y = \min(U,V)$

Đối với các góc phần tư khác, xoay ánh xạ này về gốc.

Phân phối bivariate kết quả trông giống như (nhìn từ phía trên):

$\hspace{1.5 cm}$

- màu tím đại diện cho các khu vực có xác suất nhân đôi và các khu vực màu trắng là những khu vực không có xác suất. Các vòng tròn màu đen là các đường viền có mật độ không đổi (ở mọi nơi trên vòng tròn cho , nhưng trong mỗi vùng màu cho ). $(U,V)$ $(X,Y)$

Theo đối xứng, cả và đều là tiêu chuẩn thông thường (nhìn xuống một đường thẳng đứng hoặc dọc theo đường ngang có một điểm màu tím cho mỗi điểm trắng mà chúng ta có thể coi là được lật ngang qua trục đường ngang hoặc dọc) $X$ $Y$
nhưng rõ ràng không phải là chia nhỏ bình thường và $(X,Y)$
là (tương đương, nhìn dọc theo các dòng không đổi và thấy rằng chúng ta có sự đối xứng tương tự như chúng ta đã thảo luận trong 1., nhưng lần này về hàng) $X+Y = U+V$ $\sim N(0,2)$ $X+Y$ $Y=X$

— Glen_b -Reinstate Monica
nguồn

1

+1 và Chấp nhận; công trình này đẹp hơn nhiều so với câu trả lời của riêng tôi!

— Dilip Sarwate

5

Xét các biến ngẫu nhiên liên tục liên tục với hàm mật độ khớp $U, V, W$ nơibiểu thị tiêu chuẩn hàm mật độ bình thường.

\begin{aligned} (1) & f_{U, V, W} (u, v, w) = {\begin{cases} 2 ϕ (u) ϕ (v) ϕ (w) & if u \geq 0, v \geq 0, w \geq 0, \\ or if u < 0, v < 0, w \geq 0, \\ or if u < 0, v \geq 0, w < 0, \\ or if u \geq 0, v < 0, w < 0, \\ 0 & otherwise \end{cases} \end{aligned}

$\begin{align} f_{U,V,W}(u,v,w) = \begin{cases} 2\phi(u)\phi(v)\phi(w) & ~~~~\text{if}~ u \geq 0, v\geq 0, w \geq 0,\\ & \text{or if}~ u < 0, v < 0, w \geq 0,\\ & \text{or if}~ u < 0, v\geq 0, w < 0,\\ & \text{or if}~ u \geq 0, v< 0, w < 0,\\ & \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}\tag{1} \end{align}$

ϕ (\cdot)

$\phi(\cdot)$

Rõ ràng là và là các biến ngẫu nhiên phụ thuộc . Rõ ràng là chúng không phải là các biến ngẫu nhiên thông thường chung. Tuy nhiên, cả ba cặp là các biến ngẫu nhiên độc lập theo cặp : trên thực tế, các biến ngẫu nhiên bình thường tiêu chuẩn độc lập (và do đó, các biến ngẫu nhiên bình thường ghép nối với nhau). Tóm lại, $U, V$ $W$ $(U,V), (U,W), (V,W)$ $U,V,W$ là một ví dụ về các biến ngẫu nhiên bình thường độc lập nhưng không độc lập lẫn nhau. Xem câu trả lời này của tôi để biết thêm chi tiết.

Lưu ý rằng tính độc lập theo cặp cho chúng ta rằng và đều là các biến ngẫu nhiên bình thường có nghĩa là 0 với phương sai . Bây giờ, chúng ta hãy định nghĩa và lưu ý rằng cũng là một biến ngẫu nhiên bình thường có nghĩa là không có phương sai . Ngoài ra, $U+V, U+W$ $V-W$ $2$

\begin{matrix} (2) & X = U + W, Y = V - W \end{matrix}

$X = U+W, ~Y = V-W \tag{2}$

X + Y = U + V

$X+Y = U+V$

2

$2$

, và do đó

và

là các biến ngẫu nhiên phụ thuộc và tương quan.

cov (X, Y) = - var (W) = - 1

$\operatorname{cov}(X,Y) = -\operatorname{var}(W) = -1$

X

$X$

Y

$Y$

và là các biến ngẫu nhiên bình thường (tương quan)không cùng bình thườngnhưng có đặc tính là tổng là biến ngẫu nhiên bình thường. $X$ $Y$ $X+Y$

Nói cách khác, tính quy tắc chung là điều kiện đủ để khẳng định tính quy tắc của tổng các biến ngẫu nhiên thông thường, nhưng nó không phải là điều kiện cần.

Chứng minh rằng và không cùng bình thường $X$ $Y$
Vì phép biến đổi là tuyến tính, nên dễ dàng có được $(U,V,W) \to (U+W, V-W, W) = (X,Y,W)$ . Do đó ta có $f_{X,Y,W}(x, y, w) = f_{U,V,W}(x-w,y+w,w)$ Nhưng có thuộc tính rằng giá trị của nó là khác không chỉ khi chính xác một hoặc cả ba đối số của nó là không âm. Bây giờ giả sử . Sau đó, có giá trị

f_{X, Y} (x, y) = = \int_{- \infty}^{\infty} f_{X, Y, W} (x, y, w) d w = = \int_{- \infty}^{\infty} f_{Bạn, V, W} (x - w, y + w, w) d w

$f_{X,Y}(x,y) = \int_{-\infty}^\infty f_{X,Y,W}(x,y,w)\,\mathrm dw = \int_{-\infty}^\infty f_{U,V,W}(x-w,y+w,w)\,\mathrm dw$

f_{U, V, W}

$f_{U,V, W}$

x, y > 0

$x, y > 0$

f_{U, V, W} (x - w, y + w, w)

$f_{U,V,W}(x-w,y+w,w)$

Cho

và là

khác. Vì vậy, đối với

,

2 ϕ (x - w) ϕ (y + w) ϕ (w)

$2\phi(x-w)\phi(y+w)\phi(w)$

w \in (- \infty, - y) \cup (0, x)

$w \in (-\infty,-y) \cup (0,x)$

0

$0$

x, y > 0

$x, y > 0$

Bây giờ,

\begin{matrix} (3) & f_{X, Y} (x, y) = = \int_{- \infty}^{- y} 2 φ (x - w) φ (y + w) φ (w) d w + \int_{0}^{x} 2 φ (x - w) φ (y + w) φ (w) d w . \end{matrix}

$f_{X,Y}(x,y) = \int_{-\infty}^{-y} 2\phi(x-w)\phi(y+w)\phi(w)\,\mathrm dw + \int_0^x 2\phi(x-w)\phi(y+w)\phi(w)\,\mathrm dw.\tag{3}$

và do đó bằng cách mở rộng ra

và làm một số sắp xếp lại của integrands trong

, chúng tôi có thể viết

\begin{aligned} (x - w)^{2} + (y + w)^{2} + w^{2} & = = 3 w^{2} - 2 w (x - y) + x^{2} + y^{2} \\ = = \frac{w^{2} - 2 w (\frac{x - y}{3}) + {(\frac{x - y}{3})}^{2}}{1 / 3} - \frac{1}{3} (x - y)^{2} + x^{2} + y^{2} \end{aligned}

$\begin{align} (x-w)^2 + (y+w)^2 + w^2 &= 3w^2 -2w(x-y) + x^2 + y^2\\ &= \frac{w^2 - 2w\left(\frac{x-y}{3}\right) + \left(\frac{x-y}{3}\right)^2}{1/3} -\frac 13(x-y)^2 + x^2 + y^2 \end{align}$

2 ϕ (x - w) ϕ (y + w) ϕ (w)

$2\phi(x-w)\phi(y+w)\phi(w)$

(3)

$(3)$

trong đó

là biến ngẫu nhiên bình thường với trung bình

\begin{matrix} (4) & f_{X, Y} (x, y) = = g (x, y) [P {T \leq - y} + P {0 < T \leq x}] \end{matrix}

$f_{X,Y}(x,y) = g(x,y)\big[P\{T \leq -y\} + P\{0 < T \leq x\}\big] \tag{4}$

T

$T$

và phương sai

\frac{x - y}{3}

$\frac{x-y}{3}$

. Cả hai điều kiện bên trong dấu ngoặc vuông bao gồm các tiêu chuẩn bình thường CDF

với lập luận rằng là (khác nhau) chức năng của cả

và

. Do đó,

là khôngmột mật độ bình thường hai biến mặc dù cả

và

là các biến ngẫu nhiên bình thường, và tổng của chúng là một biến ngẫu nhiên bình thường.

\frac{1}{3}

$\frac 13$

Φ (\cdot)

$\Phi(\cdot)$

x

$x$

y

$y$

f_{X, Y}

$f_{X,Y}$

X

$X$

Y

$Y$

$X$ $Y$ $X+Y$ $aX+bY$ $(a,b)$ $aX+bY$ $(a,b)$ $(1,0), (0,1), (1,1)$ $Y.H.$ $X$ $Y$ $(a,b)$

— Dilip Sarwate
nguồn