Số lượng thẻ chưa thấy dự kiến ​​khi rút thẻ từ cỗ bài có kích thước

Chúng tôi có một bộ bài . Chúng tôi rút thẻ từ nó một cách ngẫu nhiên với sự thay thế. Sau rút ra số lượng thẻ dự kiến ​​không bao giờ được chọn? 2 $n$$2n$

Câu hỏi này là phần 2 của vấn đề 2.12 trong

M. Mitzenmacher và E. Upfal, Xác suất và tính toán: Thuật toán ngẫu nhiên và phân tích xác suất , Nhà xuất bản Đại học Cambridge, 2005.

Ngoài ra, với những gì đáng giá, đây không phải là vấn đề bài tập về nhà. Đó là tự học và tôi chỉ bị mắc kẹt.

Câu trả lời của tôi cho đến nay là:

Đặt là số lượng thẻ riêng biệt được nhìn thấy sau lần rút thứ . Sau đó:$X_i$$i$

$E[X_i] = \displaystyle \sum_{k=1}^{n} k (\frac{k}{n}P(X_{i-1}=k) + \frac{n-k-1}{n} P(X_{i-1}=k-1))$

Ý tưởng ở đây là mỗi lần chúng ta rút ra, chúng ta sẽ rút một thẻ mà chúng ta đã thấy hoặc chúng ta rút ra một thẻ mà chúng ta chưa thấy và chúng ta có thể định nghĩa điều này một cách đệ quy.

Cuối cùng, câu trả lời cho câu hỏi, có bao nhiêu chúng ta chưa thấy sau trận hòa, sẽ là .n - E [ X 2 n$2n$$n-E[X_{2n}]$

Tôi tin rằng điều này là chính xác, nhưng phải có một giải pháp đơn giản hơn.

Mọi sự trợ giúp sẽ rất được trân trọng.

Gợi ý: Trên bất kỳ lần rút nào, xác suất mà thẻ không được chọn là . Và vì chúng ta đang vẽ thay thế, tôi cho rằng chúng ta có thể nói rằng mỗi lần vẽ là độc lập với những người khác. Vì vậy, xác suất để một thẻ không được chọn trong rút là ... 2$\frac{n-1}{n}$$2n$

Cảm ơn bạn Mike cho gợi ý.

Đây là những gì tôi đã đưa ra.

Đặt là biến ngẫu nhiên Bernoulli trong đó nếu thẻ chưa bao giờ được rút ra. Sau đó , nhưng vì giống nhau cho tất cả , hãy .X i = 1 i t h p i = P ( X i = 1 ) = ( n - $X_i$$X_i = 1$$i^{th}$piip=p$p_i = P(X_i=1) = (\frac{n-1}{n})^{2n}$$p_i$$i$$p=p_i$

Bây giờ hãy để là số lượng thẻ không được rút ra sau rút. 2 $\displaystyle X = \sum_{i=1}^n X_i$$2n$

Sau đó$\displaystyle E[X] = E[\sum_{i=1}^n X_i] = \sum_{i=1}^n E[X_i] = \sum_{i=1}^n p = np$

Và đó là điều tôi nghĩ.

Dưới đây là một số mã R để xác nhận lý thuyết.

evCards <- function(n) 
{
    iter <- 10000;
    cards <- 1:n;
    result <- 0;
    for (i in 1:iter) {
        draws <- sample(cards,2*n,T);
        uniqueDraws <- unique(draws,F);
        noUnique <- length(uniqueDraws);
        noNotSeen <- n - noUnique;
        result <- result + noNotSeen;
    }
    simulAvg <- result/iter;
    theoryAvg <- n * ((n-1)/n)^(2*n);
    output <-list(simulAvg=simulAvg,theoryAvg=theoryAvg);
    return (output);
}