Đây không phải là một câu hỏi làm việc tại nhà mà là vấn đề thực sự mà công ty chúng tôi phải đối mặt.

Rất gần đây (2 ngày trước) chúng tôi đã đặt hàng sản xuất 10000 nhãn sản phẩm cho một đại lý. Đại lý là người độc lập. Anh ta nhận được các nhãn sản xuất từ ​​bên ngoài và công ty thanh toán cho các đại lý. Mỗi nhãn có giá chính xác $ 1 cho công ty.

Hôm qua, đại lý đi kèm với nhãn nhưng nhãn được gói trong một gói 100 nhãn mỗi nhãn. Theo cách này, có tổng số 100 gói và mỗi gói chứa 100 nhãn, do đó tổng số 10000 nhãn. Trước khi thanh toán cho đại lý 10000 đô la, chúng tôi đã quyết định đếm vài gói để đảm bảo rằng mỗi gói chứa chính xác 100 nhãn. Khi chúng tôi đếm các nhãn, chúng tôi đã tìm thấy gói thiếu 100 nhãn (chúng tôi đã tìm thấy 97 nhãn). Để đảm bảo rằng đây không phải là tình cờ nhưng đã cố tình thực hiện, chúng tôi đã đếm thêm 5 gói và tìm thấy số nhãn sau trong mỗi gói (bao gồm cả gói đầu tiên):

Packet Number    Number of labels
1                97 
2                98  
3                96
4                100
5                95 
6                97  

Không thể đếm từng gói, vì vậy chúng tôi quyết định thanh toán trung bình. Vì vậy, số lượng nhãn trung bình trong sáu gói là 97.166, vì vậy tổng số thanh toán được quyết định là $ 9716.

Tôi chỉ muốn biết làm thế nào các nhà thống kê phải đối phó với loại vấn đề như vậy .
Hơn nữa tôi muốn biết chúng ta nên trả bao nhiêu để có được sự đảm bảo 95% rằng chúng ta chưa trả nhiều hơn số lượng thực tế của toàn bộ nhãn.

Thông tin thêm:

P (bất kỳ gói nào chứa hơn 100 nhãn) = 0
P (bất kỳ gói nào chứa nhãn nhỏ hơn 90) = 0 {nhãn nhỏ hơn 90 sẽ dễ dàng được phát hiện trong khi đếm các gói vì gói sẽ có trọng lượng nhỏ hơn}

EDIT: Đại lý chỉ đơn giản là phủ nhận sai lầm đó. Chúng tôi đã tìm thấy các đại lý này làm việc trên một khoản hoa hồng cụ thể mà họ nhận được từ nhà sản xuất về khoản tiền mà công ty đang trả. Khi chúng tôi liên lạc trực tiếp với nhà sản xuất, chúng tôi thấy rằng đó không phải là lỗi của nhà sản xuất cũng như đại lý. Nhà sản xuất cho biết, Nhãn Nhãn bị ngắn vì các tờ không được tiêu chuẩn hóa về kích thước và bất kỳ số nào được cắt từ một tờ duy nhất mà chúng sẽ bó chúng lại với nhau trong một gói.

Hơn nữa, chúng tôi được xác nhận xác nhận đầu tiên của chúng tôi được cung cấp trong thông tin bổ sung, bởi vì nhà sản xuất thừa nhận rằng từ việc tăng biên kích thước của tấm, không thể cắt nhãn bổ sung, từ việc giảm kích thước của tấm không thể cắt giảm 100 nhãn có cùng kích thước.

Tôi sẽ quan tâm đến phản hồi về đoạn văn bắt đầu "Khi phản ánh ...", vì một phần cụ thể của mô hình đã khiến tôi thức đêm.

Mô hình Bayes

Câu hỏi sửa đổi khiến tôi nghĩ rằng chúng ta có thể phát triển mô hình một cách rõ ràng mà không cần sử dụng mô phỏng. Mô phỏng đưa ra sự thay đổi bổ sung do tính ngẫu nhiên vốn có của lấy mẫu. Các nhà khoa học trả lời là tuyệt vời, mặc dù.

Giả định : số lượng nhãn nhỏ nhất trên mỗi phong bì là 90 và lớn nhất là 100.

Do đó, số lượng nhãn nhỏ nhất có thể là 9000 + 7 + 8 + 6 + 10 + 5 + 7 = 9043 (như được đưa ra bởi dữ liệu của OP), 9000 do giới hạn dưới của chúng tôi và các nhãn bổ sung đến từ dữ liệu được quan sát.

Biểu thị số lượng nhãn trong một phong bì . Biểu thị số lượng nhãn hơn 90, tức là , do đó . Các phân phối nhị thức mô hình tổng số thành công (ở đây là một thành công là sự hiện diện của một nhãn trong một phong bì) trong thử nghiệm khi các thử nghiệm độc lập với thành công liên tục Xác suất nên có giá trịChúng tôi lấy , đưa ra 11 kết quả khác nhau có thể. Tôi cho rằng vì kích thước trang tính không đều, một số trang chỉ có chỗ cho$Y_i$$i$$X_i$$X=Y-90$$X\in\{0,1,2,...,10\}$$n$$p$$X$$0, 1, 2, 3, ..., n.$$n=10$$X$các nhãn bổ sung vượt quá 90 và rằng "không gian bổ sung" này cho mỗi nhãn vượt quá 90 xảy ra độc lập với xác suất . Vậy$p$$X_i\sim\text{Binomial}(10,p).$

(Sau khi phản ánh, mô hình giả định / nhị thức độc lập có thể là một giả định kỳ lạ để thực hiện, vì nó sửa chữa hiệu quả thành phần của các trang in thành không chính thống và dữ liệu chỉ có thể thay đổi vị trí của chế độ, nhưng mô hình sẽ không bao giờ thừa nhận một bản phân phối đa phương thức. Ví dụ, theo một mô hình thay thế, có thể là máy in chỉcó các tờ có kích thước 97, 98, 96, 100 và 95: điều này đáp ứng tất cả các ràng buộc đã nêu và dữ liệu không loại trừ khả năng này. Có thể phù hợp hơn khi coi mỗi kích thước trang tính là danh mục riêng và sau đó phù hợp với mô hình đa cực Dirichlet với dữ liệu. Tôi không làm điều này ở đây vì dữ liệu rất khan hiếm, vì vậy xác suất sau cho mỗi trong số 11 loại sẽ bị ảnh hưởng rất mạnh bởi trước đó. Mặt khác, bằng cách phù hợp với mô hình đơn giản hơn, chúng ta cũng đang hạn chế các loại suy luận mà chúng ta có thể thực hiện.)

Mỗi phong bì là một thực iid của . Tổng các thử nghiệm nhị thức có cùng xác suất thành công cũng là nhị thức, vì vậy(Đây là một định lý - để xác minh, sử dụng định lý duy nhất MGF.)$i$$X$$p$$\sum_i X_i\sim\text{Binomial}(60,p).$

Tôi thích suy nghĩ về những vấn đề này trong chế độ Bayes, bởi vì bạn có thể đưa ra tuyên bố xác suất trực tiếp về số lượng quan tâm sau. Một điển hình trước cho các thử nghiệm nhị thức với chưa biết là phân phối beta , rất linh hoạt (thay đổi trong khoảng từ 0 đến 1, có thể đối xứng hoặc không đối xứng theo cả hai hướng, đồng nhất hoặc một trong hai khối Dirac, có antimode hoặc chế độ .. Đó là một công cụ tuyệt vời!). Trong trường hợp không có dữ liệu, có vẻ hợp lý để giả sử xác suất thống nhất trên . Nghĩa là, người ta có thể mong đợi nhìn thấy một tờ chứa 90 nhãn thường xuyên bằng 91, thường là 92, ..., thường là 100. Vì vậy, ưu tiên của chúng tôi là$p$$p$$p\sim\text{Beta}(1,1).$Nếu bạn không nghĩ rằng phiên bản beta trước này là hợp lý, thì đồng phục trước có thể được thay thế bằng phiên bản beta khác trước đó và toán học thậm chí sẽ không tăng độ khó!

Phân phối sau trên là theo các thuộc tính liên hợp của mô hình này. Tuy nhiên, đây chỉ là một bước trung gian vì chúng tôi không quan tâm đến nhiều như chúng tôi quan tâm đến tổng số nhãn. May mắn thay, các tính chất của liên hợp cũng có nghĩa là phân phối dự báo sau của các tờ là beta-nhị thức , với các tham số của beta sau. Có "thử nghiệm", nghĩa là các nhãn mà sự hiện diện của chúng trong phân phối là không chắc chắn, do đó mô hình sau của chúng tôi trên các nhãn còn lại là$p$$p\sim\text{Beta}(1+43,1+17)$$p$$940$$Z$$Z\sim\text{BB}(44,18,940).$

Vì chúng tôi có phân phối trên và mô hình giá trị trên mỗi nhãn (nhà cung cấp đồng ý một đô la cho mỗi nhãn), chúng tôi cũng có thể suy ra phân phối xác suất theo giá trị của lô. Suy ra tổng giá trị đô la của lô. Chúng tôi biết rằng , vì chỉ mô hình hóa các nhãn mà chúng tôi không chắc chắn. Vì vậy, việc phân tán trên giá trị được đưa ra bởi .$Z$$D$$D=9043+Z$$Z$$D$

Cách thích hợp để xem xét giá cả là gì?

Chúng ta có thể thấy rằng các lượng tử ở 0,025 và 0,975 (một khoảng 95%) tương ứng là 553 và 769. Vì vậy, khoảng 95% trên D là . Thanh toán của bạn rơi vào khoảng đó. (Phân phối trên không chính xác đối xứng, do đó, đây không phải là khoảng 95% trung tâm - tuy nhiên, sự không đối xứng là không đáng kể. một để xem xét!)$[9596, 9812]$$D$

Tôi không biết về hàm lượng tử để phân phối nhị thức beta trong R, vì vậy tôi đã tự viết bằng cách sử dụng tìm kiếm gốc của R.

qbetabinom.ab <- function(p, size, shape1, shape2){
    tmpFn <- function(x) pbetabinom.ab(x, size=size, shape1=shape1, shape2=shape2)-p
    q <- uniroot(f=tmpFn, interval=c(0,size))
    return(q$root)
}

Một cách khác để suy nghĩ về nó chỉ là suy nghĩ về sự mong đợi. Nếu bạn lặp lại quá trình này nhiều lần, chi phí trung bình bạn sẽ trả là bao nhiêu? Chúng ta có thể tính toán kỳ vọng của trực tiếp. Mô hình nhị thức beta có kỳ vọng , vì vậy gần như chính xác những gì bạn đã trả. Khoản lỗ dự kiến ​​của bạn cho thỏa thuận chỉ là 6 đô la! Tất cả đã nói, làm tốt lắm!$D$$\mathbb{E}(D)=\mathbb{E}(9043+Z)=\mathbb{E}(Z)+9043.$$\mathbb{E}(Z)=\frac{n\alpha}{\alpha+\beta}=667.0968$$\mathbb{E}(D)=9710.097,$

Nhưng tôi không chắc một trong hai số liệu này có liên quan nhất. Rốt cuộc, nhà cung cấp này đang cố gắng lừa dối bạn! Nếu tôi đang thực hiện thỏa thuận này, tôi sẽ ngừng lo lắng về việc hòa vốn hoặc giá trị hợp lý của lô và bắt đầu xác định khả năng tôi trả quá nhiều! Nhà cung cấp rõ ràng đang cố gắng lừa gạt tôi, vì vậy tôi hoàn toàn nằm trong quyền của mình để giảm thiểu tổn thất và không quan tâm đến điểm hòa vốn. Trong cài đặt này, mức giá cao nhất tôi sẽ cung cấp là 9615 đô la, vì đây là mức định lượng 5% của hậu thế trên , tức là có xác suất 95% rằng tôi đang trả thấp$D$ . Nhà cung cấp không thể chứng minh với tôi rằng tất cả các nhãn đều ở đó, vì vậy tôi sẽ phòng ngừa các vụ cá cược của mình.

(Tất nhiên, việc nhà cung cấp chấp nhận thỏa thuận cho chúng tôi biết rằng anh ta có tổn thất thực sự không đáng kể ... Tôi chưa tìm ra cách sử dụng thông tin đó để giúp chúng tôi xác định chính xác hơn số tiền bạn bị lừa, ngoại trừ lưu ý bởi vì anh ấy đã chấp nhận lời đề nghị, bạn đã hòa vốn tốt nhất .)

So sánh với bootstrap

Chúng tôi chỉ có 6 quan sát để làm việc. Sự biện minh cho bootstrap là không có triệu chứng, vì vậy hãy xem xét kết quả trông như thế nào trên mẫu nhỏ của chúng tôi. Biểu đồ này cho thấy mật độ của mô phỏng boostrap.

Mẫu "gập ghềnh" là một tạo tác của cỡ mẫu nhỏ. Bao gồm hoặc loại trừ bất kỳ một điểm nào sẽ có tác động lớn đến giá trị trung bình, tạo ra vẻ ngoài "bó" này. Cách tiếp cận Bayes làm phẳng các cụm này và, theo tôi, là một bức chân dung đáng tin cậy hơn về những gì đang diễn ra. Đường thẳng đứng là 5% lượng tử.

EDIT: Bi kịch! Giả định ban đầu của tôi là không chính xác! (Hoặc nghi ngờ, ít nhất - làm bạn tin tưởng những gì người bán nói cho bạn Tuy nhiên, chiếc mũ chóp để Morten, cũng?.) Mà tôi đoán là một giới thiệu tốt để thống kê, nhưng Các phần Tấm Cách tiếp cận hiện đang bổ sung dưới đây ( vì mọi người dường như thích Toàn bộ tờ một, và có lẽ ai đó vẫn sẽ thấy nó hữu ích).

Trước hết, vấn đề lớn. Nhưng tôi muốn làm cho nó phức tạp hơn một chút.

Do đó, trước khi thực hiện, hãy để tôi làm cho nó đơn giản hơn một chút và nói - phương pháp bạn đang sử dụng ngay bây giờ là hoàn toàn hợp lý . Nó rẻ thật dễ dàng. Vì vậy, nếu bạn phải gắn bó với nó, bạn không nên cảm thấy tồi tệ. Chỉ cần chắc chắn rằng bạn chọn gói của bạn ngẫu nhiên. VÀ, nếu bạn chỉ có thể cân nhắc mọi thứ một cách đáng tin cậy (mẹo đội mũ cho whuber và user777), thì bạn nên làm điều đó.

Lý do tôi muốn làm cho nó phức tạp hơn một chút là vì bạn đã có - bạn chưa nói với chúng tôi về toàn bộ sự phức tạp, đó là - đếm mất thời gian và thời gian cũng là tiền . Nhưng giá bao nhiêu ? Có lẽ nó thực sự rẻ hơn để đếm tất cả mọi thứ!

Vì vậy, những gì bạn thực sự đang làm là cân bằng thời gian cần thiết, với số tiền bạn đang tiết kiệm. (Tất nhiên, nếu bạn chỉ chơi trò chơi này một lần. Lần tiếp theo bạn có điều này xảy ra với người bán, họ có thể đã bắt kịp và thử một mẹo mới. Về lý thuyết trò chơi, đây là điểm khác biệt giữa Trò chơi bắn súng đơn và Iterated Trò chơi. Nhưng bây giờ, hãy giả vờ rằng người bán sẽ luôn làm điều tương tự.)

Một điều nữa trước khi tôi có được ước tính mặc dù. (Và, xin lỗi vì đã viết quá nhiều mà vẫn không nhận được câu trả lời, nhưng sau đó, đó là một câu trả lời khá hay cho một nhà thống kê sẽ làm gì? Họ sẽ dành một lượng lớn thời gian để đảm bảo rằng họ hiểu được từng phần nhỏ của vấn đề trước khi họ cảm thấy thoải mái khi nói bất cứ điều gì về nó.) Và đó là một cái nhìn sâu sắc dựa trên những điều sau đây:

(CHỈNH SỬA: NẾU BẠN THỰC SỰ THỰC HIỆN ...) Người bán của bạn không tiết kiệm tiền bằng cách xóa nhãn - họ tiết kiệm tiền bằng cách không in tờ. Họ không thể bán nhãn của bạn cho người khác (tôi giả sử). Và có lẽ, tôi không biết và tôi không biết nếu bạn làm thế, họ không thể in một nửa tờ của bạn và nửa tờ của người khác. Nói cách khác, trước khi bạn bắt đầu đếm, bạn có thể giả sử rằng tổng số nhãn là một trong hai 9000, 9100, ... 9900, or 10,000. Đó là cách tôi sẽ tiếp cận nó, bây giờ.

Phương pháp toàn bộ tờ

Khi một vấn đề hơi rắc rối như vấn đề này (rời rạc và bị ràng buộc), rất nhiều nhà thống kê sẽ mô phỏng những gì có thể xảy ra. Đây là những gì tôi mô phỏng:

# The number of sheets they used
sheets <- sample(90:100, 1)
# The base counts for the stacks
stacks <- rep(90, 100)
# The remaining labels are distributed randomly over the stacks
for(i in 1:((sheets-90)*100)){
    bucket <- sample(which(stacks!=100),1)
    stacks[bucket] <- stacks[bucket] + 1
}

Điều này mang lại cho bạn, giả sử họ đang sử dụng toàn bộ trang tính và các giả định của bạn là chính xác, có thể là một bản phân phối nhãn của bạn (theo ngôn ngữ lập trình R).

Sau đó, tôi đã làm điều này:

alpha = 0.05/2
for(i in 4:20){
    s <- replicate(1000, mean(sample(stacks, i)))
    print(round(quantile(s, probs=c(alpha, 1-alpha)), 3))
}

Điều này tìm thấy, bằng cách sử dụng phương pháp "bootstrap", khoảng tin cậy sử dụng 4, 5, ... 20 mẫu. Nói cách khác, Trung bình, nếu bạn sử dụng N mẫu, khoảng tin cậy của bạn sẽ lớn đến mức nào? Tôi sử dụng điều này để tìm một khoảng đủ nhỏ để quyết định số lượng tờ và đó là câu trả lời của tôi.

Bởi "đủ nhỏ", ý tôi là khoảng tin cậy 95% của tôi chỉ có một số nguyên trong đó - ví dụ: nếu khoảng tin cậy của tôi là từ [93.1, 94.7], thì tôi sẽ chọn 94 là số tờ chính xác, vì chúng tôi biết nó là một con số

Mặc dù khó khăn khác - sự tự tin của bạn phụ thuộc vào sự thật . Nếu bạn có 90 tờ, và mỗi cọc có 90 nhãn, thì bạn hội tụ rất nhanh. Tương tự với 100 tờ. Vì vậy, tôi đã xem xét 95 tờ, trong đó có sự không chắc chắn lớn nhất và thấy rằng để có độ chắc chắn 95%, trung bình bạn cần khoảng 15 mẫu. Vì vậy, nói chung, bạn muốn lấy 15 mẫu, bởi vì bạn không bao giờ biết những gì thực sự ở đó.

SAU bạn biết bạn cần bao nhiêu mẫu, bạn biết rằng khoản tiết kiệm dự kiến ​​của bạn là:

$100N_{missing} - 15c$

Trong đó là chi phí đếm một ngăn xếp. Nếu bạn cho rằng có một cơ hội bằng nhau của mọi số từ 0 đến 10 bị thiếu, thì khoản tiết kiệm dự kiến ​​của bạn là c $. Nhưng, và đây là điểm tạo ra phương trình - bạn cũng có thể tối ưu hóa nó, để đánh đổi sự tự tin của bạn, cho số lượng mẫu bạn cần. Nếu bạn ổn với sự tự tin mà 5 mẫu mang lại cho bạn, thì bạn cũng có thể tính toán số tiền bạn sẽ thực hiện ở đó. (Và bạn có thể chơi với mã này, để tìm ra điều đó.)$c$$500 - 15*$

Nhưng bạn cũng nên tính tiền cho anh chàng đã khiến bạn làm tất cả công việc này!

(EDIT: THÊM!) Cách tiếp cận một phần

Được rồi, vì vậy hãy giả sử những gì nhà sản xuất nói là đúng và không cố ý - một vài nhãn bị mất trong mỗi tờ. Bạn vẫn muốn biết, Về bao nhiêu nhãn, tổng thể?

Vấn đề này là khác nhau bởi vì bạn không còn có một quyết định trong sạch mà bạn có thể đưa ra - đó là một lợi thế cho giả định Toàn bộ. Trước đây, chỉ có 11 câu trả lời có thể - bây giờ, có 1100 và nhận được khoảng tin cậy 95% cho chính xác có bao nhiêu nhãn có thể sẽ lấy nhiều mẫu hơn bạn muốn. Vì vậy, hãy xem liệu chúng ta có thể nghĩ về điều này khác đi.

Bởi vì đây thực sự là việc bạn đưa ra quyết định, chúng tôi vẫn còn thiếu một vài thông số - bạn sẵn sàng mất bao nhiêu tiền, trong một giao dịch và chi phí bao nhiêu để tính một ngăn xếp. Nhưng hãy để tôi thiết lập những gì bạn có thể làm, với những con số đó.

Mô phỏng lại (mặc dù đạo cụ cho người dùng777 nếu bạn có thể làm điều đó mà không cần!), Đó là thông tin để xem xét kích thước của các khoảng khi sử dụng số lượng mẫu khác nhau. Điều đó có thể được thực hiện như thế này:

stacks <- 90 + round(10*runif(100))
q <- array(dim=c(17,2))
for(i in 4:20){
    s <- replicate(1000, mean(sample(stacks, i)))
    q[i-3,] <- quantile(s, probs=c(.025, .975))
}
plot(q[,1], ylim=c(90,100))
points(q[,2])

Giả định (lần này) rằng mỗi ngăn xếp có số lượng nhãn ngẫu nhiên đồng đều trong khoảng từ 90 đến 100 và cung cấp cho bạn:

Tất nhiên, nếu mọi thứ thực sự giống như chúng được mô phỏng, thì ý nghĩa thực sự sẽ là khoảng 95 mẫu trên mỗi ngăn xếp, thấp hơn so với thực tế có vẻ như - đây là một lập luận trong thực tế đối với phương pháp Bayes. Tuy nhiên, nó mang lại cho bạn cảm giác hữu ích về mức độ chắc chắn hơn về câu trả lời của bạn, khi bạn tiếp tục lấy mẫu - và giờ đây bạn có thể đánh đổi một cách rõ ràng chi phí lấy mẫu với bất kỳ thỏa thuận nào bạn định về giá cả.

Mà tôi biết bây giờ, tất cả chúng ta thực sự tò mò muốn nghe về.

Đây là một mẫu khá hạn chế. (Đoạn mã nằm trong R)

> sample <- c(97,98,96,100,95,97)

Để dự đoán ban đầu với số lượng dự kiến ​​trong tổng dân số và giá trị độ tin cậy 95% cho giá, chúng ta có thể bắt đầu với giá trị trung bình và lượng tử 5%

> 100*mean(sample)
[1] 9716.667
> 100*quantile(sample,0.05)
  5% 
9525 

Để đi xa hơn, chúng ta sẽ phải tạo ra một mô hình lý thuyết và đưa ra các giả định bổ sung. Có một số nguồn không chắc chắn khi chơi - (1) độ không đảm bảo đối với dạng chức năng của mô hình điền gói, (2) độ không đảm bảo khi ước tính các tham số cho mô hình và (3) lỗi lấy mẫu.

Đối với mô hình, giả sử rằng có một quy trình thả từng nhãn một cách độc lập vào một gói dễ bị thất bại ở một tỷ lệ không xác định . Chúng tôi sẽ không cho rằng nhà sản xuất đang tham gia lừa đảo, chỉ là một số phần cuối bị xáo trộn hoặc bằng cách khác trên sàn. Thành công của mỗi lần thả sau đó là một biến ngẫu nhiên Bernoulli. Đối với mỗi gói, quy trình được lặp lại lần, nghĩa là số lượng nhãn trong mỗi gói sẽ tuân theo phân phối nhị thức. Chúng ta có thể ước tính từ mẫu như sau:$p$$n=100$$p$

> n <- 100
> (p<-1-mean(sample)/100)
[1] 0.02833333

Vì và , chúng ta có thể xấp xỉ phân phối nhị thức tốt với phân phối Poisson đơn giản hơn$n\ge100$$np \le 10$

> (lambda <- n*p)
[1] 2.833333

Chúng ta có thể tìm thấy một số đảm bảo nhỏ ở chỗ phân phối Poisson có phương sai bằng với giá trị trung bình của nó, và phương sai mẫu khá gần với giá trị trung bình của mẫu$\lambda =$lambda

> var(sample)
[1] 2.966667

Nếu chúng ta giả sử rằng mỗi gói được điền độc lập, thì số lần thất bại trong toàn bộ 100 gói cũng xấp xỉ Poisson với tham số . Giá trị trung bình và 95% là$\lambda_r =$100*lambda

> 100*100-100*lambda
[1] 9716.667
> 100*100-qpois(0.95,100*lambda)
[1] 9689

Vấn đề là tỷ lệ thất bại, , chưa được biết, và chúng tôi chưa tính đến sự không chắc chắn của nó. Chúng ta hãy quay trở lại phân phối nhị thức, và vì mục đích linh hoạt và đơn giản, giả sử rằng là biến ngẫu nhiên Beta với các tham số hình dạng không xác định và . Điều này làm cho quá trình này trở thành quy trình Beta-Bernoulli. Chúng tôi cần một số giả định trước cho và , vì vậy chúng tôi sẽ cung cấp cho nhà sản xuất lợi ích của sự nghi ngờ, nhưng không có nhiều sự tin cậy và tạo ra và .$p$$p$$\alpha$$\beta$$\alpha$$\beta$$\alpha = 1$$\beta = 0$

Trong 600 quan sát, bạn đã quan sát 583 thành công và 17 lần thất bại, vì vậy chúng tôi cập nhật quy trình Beta-Bernoilli để có các tham số và . Vì vậy, đối với gói 100, chúng tôi mong đợi giá trị trung bình là 97.17138 và độ lệch chuẩn là 1.789028 (xem ví dụ: mục nhập của Wikipedia cho các công thức). Sử dụng hàm phân phối, chúng ta có thể thấy rằng xác suất có ít hơn 90 trong một gói là đủ thấp (0,05%) mà chúng ta sẽ bỏ qua giả định đó; làm như vậy là bảo thủ để thiết lập giá của chúng tôi.$\alpha^* = 1+583$$\beta^* = 0+17$

Cái hay của mô hình này là dễ dàng cập nhật và (thêm thành công mới vào và thất bại mới cho , mô hình sau vẫn là beta-binomial) để quan sát nhiều hơn để giảm sự không chắc chắn và giả định ban đầu của bạn là rõ ràng.$\alpha^*$$\beta^*$$\alpha$$\beta$

Bây giờ, giả sử mỗi gói được điền độc lập, chúng ta có thể xem toàn bộ hộp gói là 10000 sự kiện độc lập thay vì 100 sự kiện của 100 phụ. Do đó, giá trị trung bình là 9717.138 với độ lệch chuẩn 69.57153. Sử dụng chức năng phân phối, bạn có thể tính số tin cậy 95% vào khoảng 9593. Tôi đã sử dụng gói R VGAMcho các *betabinom.abchức năng của nó để thực hiện điều đó.

Vì vậy, sự không chắc chắn trong tham số ước tính làm giảm giá tin cậy 95% gần 100 và chúng tôi kết thúc khá gần với xấp xỉ đơn giản ban đầu của chúng tôi.

Dù là cách tiếp cận hay mô hình nào, dữ liệu bổ sung có thể được sử dụng để xác nhận mô hình, nghĩa là xem dữ liệu bổ sung là hợp lý theo mô hình lý thuyết hoặc liệu các điều chỉnh hoặc mô hình mới có được bảo hành hay không. Quá trình mô hình hóa tương tự như phương pháp khoa học.

Trong một trường hợp khó khăn, thiên hướng đầu tiên của tôi sẽ là tính toán khoảng tin cậy 95% cho mẫu của bạn có nghĩa là phân phối bình thường bị cắt giảm nằm giữa giới hạn dưới và trên của 90 và 100 nhãn.

Gói R truncnormcho phép bạn tìm các khoảng tin cậy cho phân phối chuẩn bị cắt cụ thể với giá trị trung bình mẫu được chỉ định, độ lệch chuẩn mẫu, giới hạn dưới và giới hạn trên.

Vì bạn đang lấy mẫu n = 5 từ một dân số tương đối nhỏ (N = 100), bạn có thể muốn nhân độ lệch chuẩn mẫu của mình với hệ số dân số hữu hạn = [(Nn) / (N-1)] ^. 5 = 0,98.

Một cách tiếp cận nhanh chóng và đơn giản là xem xét tất cả các mẫu có thể có kích thước 6. Chỉ có 15.625 hoán vị. Nhìn vào những điều này và lấy trung bình cho từng trường hợp, sau đó sắp xếp các mức trung bình và trích xuất lượng tử 5%, chúng ta nhận được giá trị 96.

Vì vậy, số tiền ước tính bạn nên sẵn sàng trả là khoảng 9600. Đây là một thỏa thuận tốt với một vài cách tiếp cận tinh vi hơn.

Một cải tiến ở đây sẽ là mô phỏng một số lượng lớn các mẫu có kích thước 6 và sử dụng cùng một quy trình để tìm phần trăm thứ 5 của phương tiện mẫu. Sử dụng hơn một triệu cộng đồng, tôi thấy tỷ lệ phần trăm thứ 5 là 96.1667, vì vậy với đồng đô la gần nhất, khoản thanh toán sẽ là 9617 đô la, chỉ chênh lệch 2 đô la so với kết quả 9615 của người dùng777.

Có vẻ như bạn đã kết luận rằng lỗi được thực hiện có chủ ý, nhưng một nhà thống kê sẽ không đi đến kết luận như vậy (mặc dù bằng chứng dường như ủng hộ điều này).

Người ta có thể thiết lập điều này như một bài kiểm tra giả thuyết:

H0: Đại lý trung thực nhưng khá cẩu thả

H1: Các đại lý là lừa đảo, và sự thiếu hụt là cố ý.

Giả sử, giả sử H0, sau đó mỗi độ lệch là một sự kiện ngẫu nhiên có giá trị trung bình = 0 và cơ hội bằng nhau là dương hoặc âm. Chúng ta hãy giả sử thêm rằng các độ lệch thường được phân phối. Độ lệch chuẩn cho phân phối chuẩn dựa trên độ lệch trong 6 điểm dữ liệu là sd = 1.722

Nếu nhà thống kê không nhớ rõ lý thuyết của anh ta, nhưng có R ở gần (không phải là kịch bản không thể xảy ra) thì anh ta / cô ta có thể viết mã sau đây để kiểm tra khả năng không nhận được độ lệch dương (không có gói nào hơn 100) nếu H0 là thật.

numpackages=c(97,98,96,100,95,97)
error<-100-numpackages
errorStdev<-sd(error)
numSimulations<-1000000
max100orLes<-0
for(p in 1:numSimulations)
{
  simulatedError<-rnorm(6,mean=0,sd=errorStdev)

  packageDeviations<-round(simulatedError)

  maxValue<-max(packageDeviations)
  if(maxValue<=0)
  {
    max100orLes<-max100orLes+1
  }   
}
probH0<-100*max100orLes/numSimulations
cat("The probability the H0 is correct is:",probH0,"%")

Kết quả của mô phỏng là:

The probability the H0 is correct is: 5.3471 %

Xác suất của đại lý là Trung thực chỉ là 5,35% và do đó, rất có thể bạn là nạn nhân của lừa đảo.

Vì bạn nói rằng đây không phải là một câu hỏi bài tập về nhà, mà là một tình huống thực sự cho công ty của bạn, nên đây không còn là một bài tập trong việc tính toán các nhãn số dự kiến ​​chính xác, mà thay vào đó là một trường hợp khó hiểu về cách xử lý một nhà cung cấp không trung thực.

Những gì bạn làm từ đây, thực sự không thể được trả lời bằng thống kê một mình. Nó rất nhiều phụ thuộc vào đòn bẩy và mối quan hệ của bạn với các đại lý.

May mắn nhất !

Morten Bunes Gustavsen

Làm thế nào về một cái gì đó giống như một mô hình đa quốc gia.

Dự đoán của mỗi kết quả được ước tính là 1/6, 1/6, .... (dựa trên 6 quan sát) và do đó E (x) = 97.16 và Var (x) = sum (95 ^ 2 * 1/6 + ...) - E (x) ^ 2 = 2,47 nên CI 95% sẽ là [94, 100]