Những cách khác nhau để viết các điều khoản tương tác trong lm?

Tôi có một câu hỏi về cách nào là tốt nhất để xác định một tương tác trong mô hình hồi quy. Hãy xem xét các dữ liệu sau:

d <- structure(list(r = structure(c(1L, 1L, 1L, 1L, 1L, 1L, 1L, 1L,
     1L, 1L, 2L, 2L, 2L, 2L, 2L, 2L, 2L, 2L, 2L, 2L), .Label = c("r1","r2"),
     class = "factor"), s = structure(c(1L, 1L, 1L, 1L, 1L, 
     2L, 2L, 2L, 2L, 2L, 1L, 1L, 1L, 1L, 1L, 2L, 2L, 2L, 2L, 2L), 
    .Label = c("s1","s2"), class = "factor"), rs = structure(c(1L, 1L,
     1L,1L, 1L,2L, 2L, 2L, 2L, 2L, 3L, 3L, 3L, 3L, 3L, 4L, 4L, 4L, 4L, 4L),
    .Label = c("r1s1","r1s2", "r2s1", "r2s2"), class = "factor"), 
     y = c(19.3788027518437, 23.832287726332, 26.2533235300492,
     15.962906892112, 24.2873740664331, 28.5181676764727, 25.2757801195961,
     25.3601044326474, 25.3066440027202, 24.3298865128677, 32.5684219007394,
     31.0048406654209, 31.671238316086, 34.1933764518288, 36.8784821769123,
     41.6691435168277, 40.4669714825801, 39.2664137501106, 39.4884849591932,
     49.247505535468)), .Names = c("r","s", "rs", "y"), 
     row.names = c(NA, -20L), class = "data.frame")

Hai cách tương đương để chỉ định mô hình có tương tác là:

lm0 <- lm(y ~ r*s, data=d)
lm1 <- lm(y ~ r + s + r:s, data=d)

Câu hỏi của tôi là nếu tôi có thể chỉ định tương tác xem xét một biến mới (rs) có cùng mức độ tương tác:

lm2 <- lm(y ~ r + s + rs, data=d)

Những lợi thế / bất lợi có cách tiếp cận này? Và tại sao kết quả từ hai phương pháp này lại khác nhau?

summary(lm1)

lm(formula = y ~ r + s + r:s, data = d, x = TRUE)
            coef.est coef.se
(Intercept) 21.94     1.46  
rr2         11.32     2.07  
ss2          3.82     2.07  
rr2:ss2      4.95     2.92  
---
n = 20, k = 4
residual sd = 3.27, R-Squared = 0.87


summary(lm2)

lm(formula = y ~ r + s + rs, data = d, x = TRUE)
            coef.est coef.se
(Intercept) 21.94     1.46  
rr2         11.32     2.07  
ss2          8.76     2.07   # ss2 coef is different from lm1
rsr1s2      -4.95     2.92  
---
n = 20, k = 4
residual sd = 3.27, R-Squared = 0.87

Kết quả khác nhau vì cách lm thiết lập mô hình với sự tương tác khác với cách thiết lập mô hình khi bạn tự thiết lập mô hình. Nếu bạn nhìn vào sd dư, nó giống nhau, điều này cho biết (không dứt khoát) rằng các mô hình cơ bản là giống nhau, chỉ được thể hiện (với các phần tử lm) khác nhau.

Nếu bạn xác định tương tác của mình paste(d$s, d$r)thay vì paste(d$r, d$s)ước tính tham số của bạn sẽ thay đổi lại, theo những cách thú vị.

Lưu ý cách tóm tắt mô hình của bạn cho lm1, ước tính hệ số cho ss2 thấp hơn 4,94 so với tóm tắt cho lm2, với hệ số cho rr2: ss2 là 4,95 (nếu bạn in đến 3 chữ số thập phân, sự khác biệt sẽ biến mất). Đây là một dấu hiệu khác cho thấy sự sắp xếp lại nội bộ của các điều khoản đã xảy ra.

Tôi không thể nghĩ ra bất kỳ lợi thế nào khi tự mình thực hiện, nhưng có thể có một mô hình phức tạp hơn mà bạn không muốn có một thuật ngữ tương tác đầy đủ mà thay vào đó chỉ là một số thuật ngữ trong "giao thoa" giữa hai hoặc nhiều yếu tố.

Bạn có thể hiểu hành vi này tốt hơn nếu bạn nhìn vào ma trận mô hình.

 model.matrix(lm1 <- lm(y ~ r*s, data=d))
 model.matrix(lm2 <- lm(y ~ r + s + rs, data=d))

Khi bạn nhìn vào các ma trận này, bạn có thể so sánh các chòm sao s2=1với các biến khác (nghĩa là khi nào s2=1, giá trị nào mà các biến khác thực hiện?). Bạn sẽ thấy rằng các chòm sao này hơi khác nhau, điều đó chỉ có nghĩa là danh mục cơ sở là khác nhau. Tất cả mọi thứ khác về bản chất là như nhau. Cụ thể, lưu ý rằng trong của bạn lm1, hệ số trên ss2bằng các hệ số ss2+rsr1s2của lm2, tức là 3,82 = 8,76-4,95, thiếu các lỗi làm tròn.

Chẳng hạn, việc thực thi đoạn mã sau cung cấp cho bạn chính xác đầu ra giống như sử dụng cài đặt tự động của R:

  d$rs <- relevel(d$rs, "r1s1")
  summary(lm1 <- lm(y~ factor(r) + factor(s) + factor(rs), data=d))

Điều này cũng cung cấp một câu trả lời nhanh cho câu hỏi của bạn: lý do thực sự duy nhất để thay đổi cách các yếu tố được thiết lập là để cung cấp sự rõ ràng về tiếp xúc. Xem xét ví dụ sau: Giả sử bạn hồi quy tiền lương cho một hình nộm khi hoàn thành trung học tương tác với một yếu tố cho biết bạn có thuộc thiểu số hay không.

Đó là:$wage = \alpha + \beta \ edu + \gamma \ edu*minority + \epsilon$

Nếu nói yếu tố thiểu số lấy giá trị 1 nếu bạn thuộc về thiểu số, hệ số có thể được hiểu là chênh lệch lương đối với các cá nhân không thiểu số đã hoàn thành trung học. Nếu đây là hệ số quan tâm của bạn, thì bạn nên mã hóa nó như vậy. Mặt khác, giả sử yếu tố thiểu số lấy giá trị là 1 nếu bạn không thuộc về thiểu số. Sau đó, để xem các cá nhân không thiểu số kiếm được bao nhiêu khi họ hoàn thành trung học, bạn sẽ phải "tính toán" thủ công . Mặc dù vậy, lưu ý rằng tất cả thông tin được chứa trong các ước tính và kết quả đáng kể không thay đổi bằng cách thiết lập các yếu tố khác nhau!beta + $\beta$$\beta+\gamma$