Phân tích chuỗi thời gian: vì sự biến động phụ thuộc vào thời gian, tại sao lại trả về văn phòng phẩm?

Tôi chạy thử nghiệm Dickey Fuller để biết liệu lợi nhuận chứng khoán có ổn định hay không. Tôi nhận được rằng bất kể tôi mua cổ phiếu nào, lợi nhuận của anh ta là ổn định. Tôi không biết tại sao tôi nhận được kết quả này vì rõ ràng sự biến động phụ thuộc vào thời gian (do đó, lợi nhuận không ổn định do phương sai của chúng phụ thuộc vào thời gian). Tôi muốn có được một câu trả lời toán học và trực quan.

Tôi nghĩ vấn đề của bạn là bạn nhầm lẫn giữa phương sai không điều kiện và phương sai có điều kiện. Thật vậy, bạn có thể có một biến động có điều kiện thay đổi theo thời gian nhưng một phương sai vô điều kiện không đổi.

Đầu tiên, tôi minh họa những gì Dickey-Fuller làm và tại sao nó là một thử nghiệm rất cụ thể. Thứ hai, tôi giải thích lý do tại sao bạn có thể có một biến động có điều kiện thay đổi theo thời gian nhưng một phương sai vô điều kiện không đổi.

Đầu tiên, hãy xem xét khuôn khổ:

$y_{t}=\rho y_{t-1}+\epsilon_{t}$ Ở đâu $\epsilon_t\sim_{iid}\mathcal{N}(0,\sigma^2)$ cho $t\in[1,T]$.

Nếu bạn tính toán kỳ vọng và phương sai (vô điều kiện) của $y_t$, bạn lấy

$\mathbb{E}[y_t]=\rho^{t-1}y_{1}$ và $\mathbb{V}[y_t]=\sigma^2\sum_{l=0}^{t-1}\rho^{2l}$

Thử nghiệm Dickey-Fuller thực hiện so với .$H0:"\rho=1"$$H1:"\rho<1"$

Nếu , thì , điều đó có nghĩa là phương sai vô điều kiện tăng tuyến tính theo thời gian.$\rho=1$$\mathbb{V}[y_t]=t\sigma^2$

Nếu nó thấp hơn 1, thì phương sai vô điều kiện có xu hướng không đổi theo thời gian do chuỗi hình học biểu hiện của nó. Nếu và , điều đó có nghĩa là nó là hiệp phương sai.$\rho<1$$t\rightarrow\infty$$\mathbb{V}[y_t]\rightarrow\frac{\sigma^2}{1-\rho^2}<+\infty$

Đó là lý do tại sao, nếu kiểm tra DF từ chối H0, bạn không thể chấp nhận rằng phương sai vô điều kiện tăng tuyến tính theo thời gian khi so sánh với giả thuyết hiệp phương sai, nhưng nó chỉ liên quan đến một dạng bất định cụ thể.

Thứ hai, hãy xem xét quá trình sau đây (ARCH (1)):

$y_{t}=\sigma_t\epsilon_t$ với$\sigma_t^2=\alpha+\beta y_{t-1}^2$

trong đó và , , độc lập với .$\alpha>0$$0<\beta< 1$$\epsilon_t\sim_{iid}\mathcal{N}(0,1)$$\sigma_t$$\epsilon_t$

Tại đây, bạn có thể thấy tham số biến động phụ thuộc vào thời gian. Tuy nhiên, tham số này là phương sai của điều kiện với thông tin chúng tôi nhận được tại thời điểm . Trên thực tế, phương sai không điều kiện của là:$\sigma_t$$y_t$$t$$y_t$

$\mathbb{V}[y_t]=\mathbb{E}[y_t^{2}]=\mathbb{E}[\sigma_t^2]=\alpha+\beta \mathbb{E}[y_{t-1}^2]$

Nếu là hiệp phương sai, nghĩa là gì:$y_t$$\mathbb{V}[y_t]=\mathbb{E}[y_t^{2}]=\mathbb{E}[y_{t-1}^{2}]$$\mathbb{V}[y_t]=\frac{\alpha}{1-\beta}<+\infty$

Vì vậy, có thể là hiệp phương sai trong khi hiển thị cục bộ một số cụm biến động.$y_t$

Để suy nghĩ xa hơn, bạn có thể đi xem bài báo này đề xuất một khung để kiểm tra xem phương sai không điều kiện có liên tục hay không: Sansó, A., Aragó, V. và Carrion-i-Silvestre, J. Ll. (2004): Kiểm tra các thay đổi trong phương sai vô điều kiện của chuỗi thời gian tài chính.

Thử nghiệm Dickey-Fuller tăng cường đánh giá xem chuỗi thời gian được kiểm tra có gốc đơn vị hay không. Bài kiểm tra được thiết kế đặc biệt cho mục đích đó. Nó hoặc từ chối null của đơn vị gốc hoặc không từ chối nó.

Tuy nhiên, việc từ chối gốc đơn vị không nên được hiểu là sự hiện diện của văn phòng phẩm. Sự hiện diện của một đơn vị gốc là một dạng không cố định, nhưng sự vắng mặt của một đơn vị gốc không bao hàm sự cố định. Ví dụ, sự hiện diện của một xu hướng thời gian xác định hoặc một số dạng không đồng nhất có điều kiện nhất định cũng là các dạng không cố định và chúng có thể là đặc trưng cho một chuỗi thời gian bất kể nó có gốc đơn vị hay không.

Thông điệp mang đi là, văn phòng phẩm không bao giờ được xác nhận ; chúng tôi chỉ có thể từ chối (hoặc không từ chối) một số hình thức không cố định dựa trên các thử nghiệm cụ thể (nhưng sẽ có các hình thức không cố định khác mà chúng tôi chưa thử nghiệm).

Kiểm tra Dickey-Fuller không kiểm tra mức độ ổn định của các biến động trả về. Vì vậy, khi bạn nói "văn phòng phẩm", bạn có thể có rất nhiều điều. Không có một bài kiểm tra nào kiểm tra sự ổn định trong định nghĩa hoàn chỉnh nghiêm ngặt của thuật ngữ này. Có các thử nghiệm khác nhau kiểm tra các khía cạnh khác nhau của văn phòng phẩm.

Theo trực giác, tất cả những gì kiểm tra DF kiểm tra là liệu có giữ được các quy trình như thế này $\theta_1=1$

Vì vậy, nếu trả về là các lần đi ngẫu nhiên (ví dụ ), thì DF có thể phát hiện ra chúng. Nó không kiểm tra xem có phải là hằng số hay không.$\theta_1=1$$\sigma_{e_t}$

Vì vậy, nếu bạn nghĩ (hy vọng là không) rằng lợi nhuận cổ phiếu là bước đi ngẫu nhiên, bạn sẽ ngạc nhiên với kết quả DF, nếu không đó là kết quả mong đợi. Có những thử nghiệm như ARCH của Engle kiểm tra sự thay đổi biến động.

CẬP NHẬT Hãy xem bài báo tuyệt vời này: MỘT NỀN KINH TẾ THỊ TRƯỜNG TRONG NHÂN VIÊN ROMAN SỚM, Peter Temin , tr.15. Tỷ lệ cho vay nằm trong khoảng 4 đến 12% hàng ngàn năm trước ở Ai Cập cổ đại! Đó là mức giá như ngày nay. Vì vậy, ít nhất là ở các cấp độ (có nghĩa là) lợi nhuận phải đứng yên.

Những gì bạn đã thử nghiệm là văn phòng phẩm thứ nhất. Trên http://www.maths.bris.ac.uk/~guy/Research/LSTS/TOS.html bạn có thể tìm thấy một danh sách với một số bài kiểm tra về tình trạng đứng thứ hai:

• Bài kiểm tra Priestley-Subba Rao (PSR)
• Kiểm tra phổ Wavelet

và thậm chí một số mã để chạy nó trong R.