Liên kết giữa phương sai và khoảng cách cặp trong một biến

Vui lòng chứng minh rằng nếu chúng ta có hai biến (cỡ mẫu bằng nhau) và và phương sai trong lớn hơn ở , thì tổng chênh lệch bình phương (nghĩa là khoảng cách Euclide bình phương) giữa các điểm dữ liệu trong cũng lớn hơn rằng trong . $X$ $Y$ $X$ $Y$ $X$ $Y$

variance distance

— ttnphns
nguồn

Hãy làm rõ: Khi bạn nói phương sai , bạn có nghĩa là phương sai mẫu ? Khi bạn nói tổng của sự khác biệt bình phương, ý bạn là ?

\sum_{i, j} (x_{i} - x_{j})^{2}

$\sum_{i,j} (x_i - x_j)^2$

— hồng y

Giả sử đã nói ở trên: bằng cách tính toán cẩn thận các yếu tố trong thuật ngữ chéo. Tôi tưởng tượng bạn có thể điền vào (những khoảng trống nhỏ). Kết quả sau đó tầm thường.

\sum_{i, j} (x_{i} - x_{j})^{2} = \sum_{i \neq j} ((x_{i} - \bar{x}) - (x_{j} - \bar{x}))^{2} = 2 n \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2},

$\sum_{i,j} (x_i - x_j)^2 = \sum_{i \neq j} ((x_i - \bar{x}) - (x_j - \bar{x}))^2 = 2 n \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2 \> ,$

— hồng y

Ngoài ra còn có một cách để thực hiện điều này "mà không" bất kỳ tính toán nào bằng cách xem xét thực tế rằng nếu và là iid từ (với phương sai được xác định rõ), thì . Nó đòi hỏi một chút nắm vững hơn về các khái niệm xác suất, mặc dù.

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

F

$F$

E (X_{1} - X_{2})^{2} = 2 V a r (X_{1})

$\mathbb E (X_1 - X_2)^2 = 2 \mathrm{Var}(X_1)$

— hồng y

Đối với một câu hỏi liên quan, tôi đã sử dụng một hình ảnh trực quan về những gì đang diễn ra ở đây trong một câu trả lời tại stats.stackexchange.com/a/18200 : sự khác biệt bình phương là các khu vực của hình vuông.

— whuber

@whuber: Rất đẹp. Bằng cách nào đó tôi đã bỏ lỡ câu trả lời này của bạn trên đường đi.

— Đức hồng y

Chỉ cần cung cấp một câu trả lời "chính thức", để bổ sung cho các giải pháp được phác thảo trong các ý kiến, thông báo

Không có , , hoặc được thay đổi bằng cách chuyển tất cả đồng đều sang cho một số hằng hoặc chuyển tất cả sang cho một số hằng . Do đó, chúng tôi có thể giả sử các ca làm việc như vậy đã được thực hiện để tạo , whence và . $\operatorname{Var} ((X_i))$ $\operatorname{Var} ((Y_i))$ $\sum_{i,j}(X_i-X_j)^2$ $\sum_{i,j} (Y_i-Y_j)^2$ $X_i$ $X_i-\mu$ $\mu$ $Y_i$ $Y_i-\nu$ $\nu$ $\sum X_i = \sum Y_i = 0$ $\operatorname{Var}((X_i)) = \sum X_i^2$ $\operatorname{Var}((Y_i)) = \sum Y_i^2$
Sau khi xóa các yếu tố phổ biến từ mỗi bên và sử dụng (1), câu hỏi yêu cầu hiển thị rằng ngụ ý . $\sum X_i^2 \ge \sum Y_i^2$ $\sum_{i,j} (X_i-X_j)^2 \ge \sum_{i,j} (Y_i-Y_j)^2$
Mở rộng đơn giản các hình vuông và sắp xếp lại các khoản tiền cho với kết quả tương tự cho 's.
$\sum_{i, j} (X_{i} - X_{j})^{2} = 2 \sum X_{i}^{2} - 2 (\sum X_{i}) (\sum X_{j}) = 2 \sum X_{i}^{2} = 2 Var ((X_{i}))$ $\sum_{i,j}(X_i-X_j)^2 = 2\sum X_i^2 - 2\left(\sum X_i\right)\left(\sum X_j\right) = 2\sum X_i^2 = 2\operatorname{Var}((X_i))$ $Y$

Bằng chứng là ngay lập tức.

— whuber
nguồn