The Frog Riddle - Xác suất có điều kiện

Tôi thấy câu đố này đang thực hiện các vòng trên internet: https://ed.ted.com/lessons/can-you-solve-the-frog-riddle-derek-abbott

Tóm tắt; Có một quần thể ếch với nam: nữ xảy ra theo tỷ lệ 50:50. Có hai miếng đất gần bạn, một miếng chứa một con ếch, cái kia chứa hai con ếch. Sự sống sót của bạn phụ thuộc vào việc bạn tìm thấy một con ếch cái ở một trong hai miếng vá này, nhưng bạn chỉ có thể thực hiện một nỗ lực. Bạn không thể biết được con ếch nào trước, ngoại trừ việc bạn biết rằng một trong những con ếch trong miếng vá có hai con ếch là con đực.

Câu trả lời được đưa ra cho câu đố là tỷ lệ cược của một con ếch là nữ là 50%, nhưng tỷ lệ của một trong hai con ếch là con cái là 2/3 (67%). Lời giải thích là có bốn kết hợp có thể có của các cặp nam, một loại được loại trừ vì chúng ta biết một con ếch là con đực, do đó 2/3 kết hợp chúng ta tìm thấy một con ếch cái trong cặp và 1/3 nơi chúng ta không có.

Xác suất có vẻ sai đối với tôi; bất cứ ai có thể làm rõ lý do tại sao đây là trường hợp?

Tôi nghi ngờ rằng có một sự tinh tế trong việc đóng khung câu hỏi mà tôi đang thiếu.

Khi tôi đọc vấn đề, chúng tôi có hai lựa chọn, cả hai đều chỉ là cơ hội 50:50 cho dù một con ếch là nam hay nữ. Không biết con ếch nào trong cặp chắc chắn là con đực nên không có ảnh hưởng gì đến xác suất của con kia.

Nếu tôi sai tôi thực sự muốn hiểu tại sao!

Hãy nhìn vào cặp ếch. Ếch đực được xác định bằng cách kêu trong video.

Như đã giải thích trong video, trước khi chúng tôi nghe thấy bất kỳ tiếng kêu nào, có 4 kết quả có khả năng tương đương với 2 con ếch:

• Ếch 1 là Nam, Ếch 2 là Nam
• Ếch 1 là Nữ, Ếch 2 là Nam
• Ếch 1 là Nam, Ếch 2 là Nữ
• Ếch 1 là Nữ, Ếch 2 là Nữ

Đặt giả định về nam và nữ xảy ra đồng đều và độc lập, không gian mẫu của chúng tôi là $\{(M,M),(F,M),(M,F),(F,F)\}$và chúng ta có xác suất $1/4$ cho từng yếu tố.

Bây giờ, một khi chúng ta nghe thấy tiếng kêu từ cặp này, chúng ta biết rằng ít nhất một con ếch là con đực. Do đó, sự kiện$(F,F)$là không thể Sau đó, chúng tôi có một không gian mẫu mới, giảm do điều kiện này gây ra:$\{(M,M),(F,M),(M,F)\}$. Mỗi khả năng còn lại vẫn có khả năng như nhau và xác suất của tất cả các sự kiện được cộng lại phải là$1$. Vì vậy, xác suất của mỗi trong số ba sự kiện này trong không gian mẫu mới phải là$1/3$.

Sự kiện duy nhất kết thúc tồi tệ đối với chúng tôi là $(M,M)$, vì vậy có một $2/3$ cơ hội sống sót.

Chính thức hơn, định nghĩa của xác suất có điều kiện nói:

Đây thực sự là quy trình tương tự mà chúng tôi đã suy luận như trên.

Vì toán học đã được đặt ra nên tôi sẽ cố gắng cung cấp một số trực giác. Vấn đề là việc biết rằng ít nhất một con ếch là con đực khác với việc biết rằng bất kỳ con ếch cụ thể nào là con đực. Trường hợp trước mang ít thông tin hơn và điều này làm tăng hiệu quả cơ hội của chúng ta trong tình huống sau.

Gọi ếch trái và phải, và giả sử chúng ta được bảo rằng ếch phải là đực. Sau đó, chúng tôi đã loại bỏ hai sự kiện có thể xảy ra khỏi không gian mẫu: sự kiện cả hai con ếch là con cái và sự kiện con ếch bên trái là con đực và con ếch bên phải là con cái. Bây giờ xác suất thực sự là một nửa và chúng ta không chọn vấn đề nào. Lập luận tương tự chính xác là đúng nếu chúng ta biết rằng con ếch bên trái là con đực.

Nhưng nếu chúng ta chỉ nói rằng ít nhất một con ếch là con đực, đó là điều xảy ra khi chúng ta nghe thấy tiếng kêu, thì chúng ta không thể loại bỏ sự kiện rằng con ếch bên trái là con đực và con ếch bên phải là con cái. Chúng tôi chỉ có thể loại bỏ sự kiện cả hai đều là nữ, điều này làm cho sự kiện có ít nhất một người là nữ nhiều hơn so với cài đặt trước đó.

Tôi nghĩ lý do tại sao điều này gây nhầm lẫn là vì chúng ta tự nhiên nghĩ rằng học ít nhất một người là nam nên khiến chúng ta không thích chọn cặp ếch. Đúng là thông tin này làm cho ít có khả năng ít nhất một người là nữ, nhưng cũng nhận ra rằng có ít nhất ba phần tư cơ hội của ít nhất một nữ trước khi chúng ta học được bất cứ điều gì. Đó là sự mơ hồ của thông tin mà chúng tôi nhận được, vì vậy chúng tôi vẫn nên thích hai con ếch hơn một.

Trực giác của bạn là chính xác trong trường hợp này. Khi vấn đề được nêu tỷ lệ sống sót của bạn là 50%. Video nêu không gian không chính xác dựa trên thông tin chúng tôi có và do đó đưa ra kết luận không chính xác. Không gian vấn đề chính xác chứa 8 điều kiện và như sau.

Chúng tôi có hai con ếch trên một khúc gỗ, và một trong số chúng đã phá vỡ khả năng của chúng tôi là gì? (M chỉ định nam, F chỉ định nữ và c chỉ định xiêu vẹo, vị trí thứ nhất là trái, vị trí thứ hai là phải)

[
  [Mc, M], 
  [M, Mc],
  [Mc, F], 
  [M, Fc], (X No Male croak) 
  [Fc, M], (X No Male croak)
  [F, Mc], 
  [Fc, F], (X No Male croak)
  [F, Fc], (X No Male croak)
]

Mỗi trường hợp đều có khả năng như nhau dựa trên thông tin mà chúng ta có, khi chúng ta loại bỏ các điều kiện được cung cấp kiến ​​thức mà một con ếch đực đã vẹo. Chúng tôi thấy rằng có 4 kết quả mong đợi. Ếch đực bên trái kêu bên cạnh một con ếch đực bên phải im lặng. Ếch đực bên phải co rúm bên cạnh một con ếch đực bên trái im lặng. Hoặc có một con ếch đực đang kêu cặp với một con ếch cái ở cả hai hướng. Để hiểu một cách trực quan để hiểu điều này, hai con ếch đực có khả năng co rúm gấp đôi so với con ếch đực đơn lẻ được ghép đôi với con cái, vì vậy chúng ta phải cân nó một cách thích hợp.

Bạn cũng có thể phân chia không gian tìm kiếm bằng cách xén ếch (C) và ếch không vẹo (N). Vì ếch kêu là 100% là con đực, bạn có thể loại bỏ nó khỏi tìm kiếm của bạn vì nó không có cơ hội giúp bạn sống sót. Trong khi tác giả có ý định tạo ra một "vấn đề hội trường", họ vô tình tạo ra một "nghịch lý trai hay gái".

Các câu hỏi sau đây mang lại kết quả khác nhau:

Cho rằng có một người đàn ông thì khả năng người kia là nữ là bao nhiêu?

Cho rằng một con ếch đực bị vẹo thì khả năng con kia là con cái là bao nhiêu?

Tôi biết thêm thông tin trong trường hợp thứ hai

https://en.wikipedia.org/wiki/Monty_Hall_propet

https://en.wikipedia.org/wiki/Boy_or_Girl_paradox

Một câu trả lời rõ ràng hơn cho điều này, vì trước đó quá dài và không dễ hiểu.

Các kết quả có thể khác nhau, mặc dù tôi đã sử dụng cùng một chữ cái. Để làm rõ không gian mẫu, tôi sẽ mô tả các kết quả có thể xảy ra

MM -> "Nam ở bên trái" - "Một nam ngẫu nhiên ở bên phải"

MF -> "Nam ở bên trái" - "Một nữ ngẫu nhiên ở bên phải"

MM -> "Nam ở bên phải" - "Một nam ngẫu nhiên ở bên trái"

MF -> "Nam ở bên phải" - "Một nữ ngẫu nhiên ở bên trái"

Vấn đề tôi gặp phải với vấn đề này, đó là giải pháp dường như đang sử dụng các quy tắc khác nhau cho những gì nó cho là kết quả có thể xảy ra đối với hai con ếch là nam và nữ, và nam và nam.

Cặp F / M và cặp M / F khác nhau vì chúng ta không biết con ếch thứ nhất hay con ếch thứ hai là con đực, vì vậy F / M và M / F là hai khả năng riêng biệt, mặc dù kết quả vẫn lên tới "một con ếch cái, một con ếch đực".

Nhưng cặp M / M chỉ được coi là một kết quả khả dĩ, mặc dù logic tương tự nên được áp dụng: chúng ta không biết con ếch nào là âm thanh phát ra tiếng kêu, vì vậy, con ếch có thể là con mà chúng ta nghe thấy và con kia một người vẫn có thể là nam giới, điều đó đã không xảy ra.

Không biết gì cả: $\{(M,M), (M,F), (F,M), (F,F)\}$. Ba cặp với ít nhất một nữ trong số bốn kết hợp có thể:$3/4$ hoặc là $75\%$

Biết người đầu tiên là nam: $\{(M,M), (M,F)\}$. Một cặp có ít nhất một nữ trong số hai kết hợp có thể:$1/2$ hoặc là $50\%$

Biết rằng có ít nhất một nam: $\{(M,M), (M,F), (F,M)\}$. Hai cặp có ít nhất một nữ trong số ba kết hợp có thể:$2/3$ hoặc là $67\%$

Trước khi chúng tôi nghe thấy bất kỳ tiếng kêu nào, có 4 kết quả có khả năng tương đương với 2 con ếch:

Ếch 1 là Nam, Ếch 2 là Nam

Ếch 1 là Nữ, Ếch 2 là Nam

Ếch 1 là Nam, Ếch 2 là Nữ

Ếch 1 là Nữ, Ếch 2 là Nữ

Đặt giả định về nam và nữ xảy ra đồng đều và độc lập, không gian mẫu của chúng tôi là {(M, M), (F, M), (M, F), (F, F)} và chúng tôi có xác suất 1/4 cho từng yếu tố.

Khi chúng tôi nghe thấy tiếng kêu từ cặp này, chúng tôi biết rằng ít nhất một con ếch là con đực. Con đực này có thể giống nhau như Ếch 1 hoặc Ếch 2. Vì vậy, có 2 kết quả có khả năng như nhau đối với Ếch 1:

Ếch 1 là Nam

Ếch 1 là Ếch ngẫu nhiên

Đưa ra các giả định về nam và nữ xảy ra đồng đều và độc lập, Ếch Ngẫu nhiên có khả năng là Nam ngẫu nhiên hoặc Nữ ngẫu nhiên.

P (Ếch 1 là ngẫu nhiên Nam được cho Ếch 1 là Ếch ngẫu nhiên) = P (Ếch 1 là ngẫu nhiên Nữ được cho Ếch 1 là Ếch ngẫu nhiên) = 1/2

P (Ếch 1 là ngẫu nhiên Nam và Ếch 1 là Ếch ngẫu nhiên) = P (Ếch 1 là Ếch ngẫu nhiên) P (Ếch 1 là ngẫu nhiên Nam cho Ếch 1 là Ếch ngẫu nhiên) = (1/2) (1/2) = 1 /4

P (Ếch 1 là ngẫu nhiên Nữ và Ếch 1 là Ếch ngẫu nhiên) = P (Ếch 1 là Ếch ngẫu nhiên) P (Ếch 1 là ngẫu nhiên Nữ cho Ếch 1 là Ếch ngẫu nhiên) = (1/2) (1/2) = 1 /4

Vì vậy, có 3 kết quả có thể xảy ra cho Ếch 1:

Ếch 1 là Nam

Ếch 1 là con đực ngẫu nhiên

Ếch 1 là nữ ngẫu nhiên

và xác suất là:

P (Ếch 1 là Nam) = 1/2

P (Ếch 1 là Nam ngẫu nhiên) = 1/4

P (Ếch 1 là Nữ ngẫu nhiên) = 1/4

Bây giờ, với mỗi kết quả có thể xảy ra cho Frog 1, có 2 kết quả có thể xảy ra cho Frog 2:

Ếch 2 là Nam

Ếch 2 là Ếch ngẫu nhiên

Đối với mỗi kết quả có thể xảy ra đối với Ếch 1, Ếch ngẫu nhiên có khả năng là Nam ngẫu nhiên hoặc Nữ ngẫu nhiên.

Vì vậy, đối với mỗi kết quả có thể xảy ra đối với Ếch 1, có 3 kết quả có thể xảy ra đối với Ếch 2:

Ếch 2 là Nam

Ếch 2 là con đực ngẫu nhiên

Ếch 2 là nữ ngẫu nhiên

P (Ếch 2 là Nam cho Ếch 1 là Nam) = 0

P (Ếch 2 là Nam cho Ếch 1 là Nam ngẫu nhiên) = 1

P (Ếch 2 là Nam cho Ếch 1 là Nữ ngẫu nhiên) = 1

P (Ếch 2 là ngẫu nhiên Nam cho Ếch 1 là Nam) = 1/2

P (Ếch 2 là ngẫu nhiên Nam cho Ếch 1 là Nam ngẫu nhiên) = 0

P (Ếch 2 là ngẫu nhiên Nam cho Ếch 1 là Ngẫu nhiên nữ) = 0

P (Ếch 2 là ngẫu nhiên Nữ cho Ếch 1 là Nam) = 1/2

P (Ếch 2 là ngẫu nhiên Nữ được cho Ếch 1 là Nam ngẫu nhiên) = 0

P (Ếch 2 là ngẫu nhiên Nữ cho Ếch 1 là Ngẫu nhiên nữ) = 0

P (Ếch 2 là Nam ngẫu nhiên và Ếch 1 là Nam) = P (Ếch 1 là Nam) P (Ếch 2 là Ngẫu nhiên Nam cho Ếch 1 là Nam) = (1/2) (1/2) = 1/4

P (Ếch 2 là nữ ngẫu nhiên và Ếch 1 là nam) = P (Ếch 1 là nam) P (Ếch 2 là ngẫu nhiên Nữ cho Ếch 1 là nam) = (1/2) (1/2) = 1/4

P (Ếch 2 là Nam và Ếch 1 là Nam ngẫu nhiên) = P (Ếch 1 là Nam ngẫu nhiên) * P (Ếch 2 là Nam cho Ếch 1 là Nam ngẫu nhiên) = (1/4) * 1 = 1/4

P (Ếch 2 là Nam và Ếch 1 là Nữ ngẫu nhiên) = P (Ếch 1 là Nữ ngẫu nhiên) * P (Ếch 2 là Nam cho Ếch 1 là Nữ ngẫu nhiên) = (1/4) * 1 = 1/4

Vì vậy, không gian mẫu của chúng tôi là {(Nam, Nam ngẫu nhiên), (Nam, Nữ ngẫu nhiên), (Nam ngẫu nhiên, Nam), (Nữ ngẫu nhiên, Nam)} và chúng tôi có xác suất 1/4 cho mỗi yếu tố.

P (F cho ít nhất 1 M) = P (F và ít nhất 1 nam) / P (ít nhất 1 M) = P (1 M và 1 F) / P (1 M hoặc 2 M) = P [(Nam , Nữ ngẫu nhiên), (Nữ ngẫu nhiên, Nam)] / P [(Nam, Nam ngẫu nhiên), (Nam, Nữ ngẫu nhiên), (Nam ngẫu nhiên, Nam), (Nữ ngẫu nhiên, Nam)] = (1/2) / (4/4) = 1/2