Hồi quy khi mỗi điểm có độ không đảm bảo riêng trong cả

Tôi thực hiện đo của hai biến x và y . Cả hai đều có sự không chắc chắn đã biết σ x và σ y liên quan đến chúng. Tôi muốn tìm mối quan hệ giữa x và y . Tôi làm nó như thế nào?$n$$x$$y$$\sigma_x$$\sigma_y$$x$$y$

EDIT : mỗi có khác nhau σ x , i liên kết với nó, và cùng với các y i .$x_i$$\sigma_{x,i}$$y_i$

Ví dụ R sinh sản:

## pick some real x and y values 
true_x <- 1:100
true_y <- 2*true_x+1

## pick the uncertainty on them
sigma_x <- runif(length(true_x), 1, 10) # 10
sigma_y <- runif(length(true_y), 1, 15) # 15

## perturb both x and y with noise 
noisy_x <- rnorm(length(true_x), true_x, sigma_x)
noisy_y <- rnorm(length(true_y), true_y, sigma_y)

## make a plot 
plot(NA, xlab="x", ylab="y",
    xlim=range(noisy_x-sigma_x, noisy_x+sigma_x), 
    ylim=range(noisy_y-sigma_y, noisy_y+sigma_y))
arrows(noisy_x, noisy_y-sigma_y, 
       noisy_x, noisy_y+sigma_y, 
       length=0, angle=90, code=3, col="darkgray")
arrows(noisy_x-sigma_x, noisy_y,
       noisy_x+sigma_x, noisy_y,
       length=0, angle=90, code=3, col="darkgray")
points(noisy_y ~ noisy_x)

## fit a line 
mdl <- lm(noisy_y ~ noisy_x)
abline(mdl)

## show confidence interval around line 
newXs <- seq(-100, 200, 1)
prd <- predict(mdl, newdata=data.frame(noisy_x=newXs), 
    interval=c('confidence'), level=0.99, type='response')
lines(newXs, prd[,2], col='black', lty=3)
lines(newXs, prd[,3], col='black', lty=3)

Vấn đề với ví dụ này là tôi nghĩ rằng nó giả định rằng không có sự không chắc chắn trong . Làm thế nào tôi có thể sửa lỗi này?$x$

$L$$\theta$$\gamma$

$(x,y)$

$x_i$$\sigma_i^2$$y_i$$\tau_i^2$$x_i$$y_i$

$\theta$$\gamma$

$\sigma_i$$\tau_i$$0$

$\tau_i$$\sigma_i$$x$$n=8$

Các dòng thực sự được hiển thị trong màu xanh chấm. Dọc theo đó, các điểm ban đầu được vẽ dưới dạng các vòng tròn rỗng. Mũi tên màu xám kết nối chúng với các điểm quan sát, được vẽ dưới dạng các đĩa đen đặc. Các giải pháp được vẽ như là một đường màu đỏ rắn. Mặc dù có sự sai lệch lớn giữa các giá trị quan sát và thực tế, giải pháp này rất gần với đường chính xác trong khu vực này.

#
# Generate data.
#
theta <- c(1, -2, 3) # The line is theta %*% c(x,y,-1) == 0
theta[-3] <- theta[-3]/sqrt(crossprod(theta[-3]))
n <- 8
set.seed(17)
sigma <- rexp(n, 1/2)
tau <- rexp(n, 1)
u <- 1:n
xy.0 <- t(outer(c(-theta[2], theta[1]), 0:(n-1)) + c(theta[3]/theta[1], 0))
xy <- xy.0 + cbind(rnorm(n, sd=sigma), rnorm(n, sd=tau))
#
# Fit a line.
#
x <- xy[, 1]
y <- xy[, 2]
f <- function(phi) { # Negative log likelihood, up to an additive constant
  a <- phi[1]
  gamma <- phi[2]
  sum((x*cos(a) + y*sin(a) - gamma)^2 / ((sigma*cos(a))^2 + (tau*sin(a))^2))/2
}
fit <- lm(y ~ x) # Yields starting estimates
slope <- coef(fit)[2]
theta.0 <- atan2(1, -slope)
gamma.0 <- coef(fit)[1] / sqrt(1 + slope^2)
sol <- nlm(f,c(theta.0, gamma.0))
#
# Plot the data and the fit.
#
theta.hat <- sol$estimate[1] %% (2*pi)
gamma.hat <- sol$estimate[2]
plot(rbind(xy.0, xy), type="n", xlab="x", ylab="y")
invisible(sapply(1:n, function(i) 
  arrows(xy.0[i,1], xy.0[i,2], xy[i,1], xy[i,2], 
         length=0.15, angle=20, col="Gray")))
points(xy.0)
points(xy, pch=16)
abline(c(theta[3] / theta[2], -theta[1]/theta[2]), col="Blue", lwd=2, lty=3)
abline(c(gamma.hat / sin(theta.hat), -1/tan(theta.hat)), col="Red", lwd=2)

Tối ưu hóa khả năng tối đa cho trường hợp không chắc chắn trong x và y đã được York (2004) đề cập. Đây là mã R cho chức năng của mình.

"YorkFit", được viết bởi Rick Wehr, 2011, được dịch sang R bởi Rachel Chang

Quy trình phổ biến để tìm đường thẳng phù hợp nhất với dữ liệu có các lỗi tương quan, có thể thay đổi, bao gồm lỗi và mức độ tốt của ước tính phù hợp, theo phương trình. (13) của York 2004, Tạp chí Vật lý Hoa Kỳ, dựa trên York 1969, Thư Khoa học Trái đất và Hành tinh

YorkFit <- function (X, Y, Xstd, Ystd, Ri = 0, b0 = 0, printCoefs = 0, makeLine = 0, eps = 1e-7)

X, Y, Xstd, Ystd: sóng chứa điểm X, điểm Y và độ lệch chuẩn của chúng

CẢNH BÁO: Xstd và Ystd không thể bằng 0 vì điều này sẽ khiến Xw hoặc Yw là NaN. Sử dụng một giá trị rất nhỏ thay thế.

Ri: hệ số tương quan cho các lỗi X và Y - chiều dài 1 hoặc chiều dài của X và Y

b0: dự đoán ban đầu về độ dốc (có thể nhận được từ một hình vuông nhỏ nhất phù hợp mà không có lỗi)

printCoefs: đặt bằng 1 để hiển thị kết quả trong cửa sổ lệnh

makeLine: đặt bằng 1 để tạo sóng Y cho đường phù hợp

Trả về một ma trận với phần chặn và độ dốc cộng với độ không đảm bảo của chúng

Nếu không có dự đoán ban đầu cho b0, thì chỉ cần sử dụng OLS if (b0 == 0) {b0 = lm (Y ~ X) $ hệ số [2]}

tol = abs(b0)*eps #the fit will stop iterating when the slope converges to within this value

a, b: đánh chặn cuối cùng và độ dốc a.err, b.err: độ không đảm bảo ước tính trong đánh chặn và độ dốc

# WAVE DEFINITIONS #

Xw = 1/(Xstd^2) #X weights
Yw = 1/(Ystd^2) #Y weights


# ITERATIVE CALCULATION OF SLOPE AND INTERCEPT #

b = b0
b.diff = tol + 1
while(b.diff>tol)
{
    b.old = b
    alpha.i = sqrt(Xw*Yw)
    Wi = (Xw*Yw)/((b^2)*Yw + Xw - 2*b*Ri*alpha.i)
    WiX = Wi*X
    WiY = Wi*Y
    sumWiX = sum(WiX, na.rm = TRUE)
    sumWiY = sum(WiY, na.rm = TRUE)
    sumWi = sum(Wi, na.rm = TRUE)
    Xbar = sumWiX/sumWi
    Ybar = sumWiY/sumWi
    Ui = X - Xbar
    Vi = Y - Ybar

    Bi = Wi*((Ui/Yw) + (b*Vi/Xw) - (b*Ui+Vi)*Ri/alpha.i)
    wTOPint = Bi*Wi*Vi
    wBOTint = Bi*Wi*Ui
    sumTOP = sum(wTOPint, na.rm=TRUE)
    sumBOT = sum(wBOTint, na.rm=TRUE)
    b = sumTOP/sumBOT

    b.diff = abs(b-b.old)
  }     

   a = Ybar - b*Xbar
   wYorkFitCoefs = c(a,b)

# ERROR CALCULATION #

Xadj = Xbar + Bi
WiXadj = Wi*Xadj
sumWiXadj = sum(WiXadj, na.rm=TRUE)
Xadjbar = sumWiXadj/sumWi
Uadj = Xadj - Xadjbar
wErrorTerm = Wi*Uadj*Uadj
errorSum = sum(wErrorTerm, na.rm=TRUE)
b.err = sqrt(1/errorSum)
a.err = sqrt((1/sumWi) + (Xadjbar^2)*(b.err^2))
wYorkFitErrors = c(a.err,b.err)

# GOODNESS OF FIT CALCULATION #
lgth = length(X)
wSint = Wi*(Y - b*X - a)^2
sumSint = sum(wSint, na.rm=TRUE)
wYorkGOF = c(sumSint/(lgth-2),sqrt(2/(lgth-2))) #GOF (should equal 1 if assumptions are valid), #standard error in GOF

# OPTIONAL OUTPUTS #

if(printCoefs==1)
 {
    print(paste("intercept = ", a, " +/- ", a.err, sep=""))
    print(paste("slope = ", b, " +/- ", b.err, sep=""))
  }
if(makeLine==1)
 {
    wYorkFitLine = a + b*X
  }
 ans=rbind(c(a,a.err),c(b, b.err)); dimnames(ans)=list(c("Int","Slope"),c("Value","Sigma"))
return(ans)
 }