Ước tính giá trị trung bình và st dev của đường cong gaussian bị cắt mà không tăng đột biến

11

Giả sử tôi có một hộp đen tạo dữ liệu theo phân phối bình thường với trung bình m và độ lệch chuẩn s. Tuy nhiên, giả sử rằng bất cứ khi nào nó xuất ra một giá trị <0 thì nó không ghi lại bất cứ điều gì (thậm chí không thể nói rằng nó đã xuất ra một giá trị như vậy). Chúng tôi có một phân phối gaussian cắt ngắn mà không tăng đột biến.

Làm thế nào tôi có thể ước tính các tham số này?

distributions estimation

Tôi đã thay đổi thẻ từ "cắt ngắn-gaussian" thành "cắt ngắn" vì hầu hết các câu trả lời sẽ có khả năng hữu ích trong các tình huống liên quan đến các bản phân phối khác.

— whuber

7

Mô hình cho dữ liệu của bạn sẽ là:

$y_i \sim N(\mu,\sigma^2) I(y_i > 0)$

Do đó, hàm mật độ là:

f (y_{i} | -) = \frac{e x p (- \frac{(y_{i} - μ)^{2}}{2 σ^{2}})}{\sqrt{2 π σ} (1 - ϕ (- \frac{μ}{σ}))}

$f(y_i|-) = \frac{exp(-\frac{(y_i-\mu)^2}{2 \sigma^2})}{\sqrt{2 \pi \sigma}\ (1 - \phi(-\frac{\mu}{\sigma}))}$

Ở đâu,

$\phi(.)$ là cdf chuẩn thông thường.

Sau đó, bạn có thể ước tính các tham số và bằng cách sử dụng phương pháp tối đa hoặc phương pháp bayes. $\mu$ $\sigma$

3

Như Srikant Vadali đã đề xuất, Cohen và Hald đã giải quyết vấn đề này bằng cách sử dụng ML (với công cụ tìm gốc Newton-Raphson) vào khoảng năm 1950. Một bài báo khác là "Ước tính trong phân phối bình thường bị cắt" có sẵn trên JSTOR (dành cho những người có quyền truy cập). Googling "ước lượng gaussian cắt ngắn" tạo ra rất nhiều lượt truy cập có vẻ hữu ích.

Thông tin chi tiết được cung cấp trong một chủ đề khái quát hóa câu hỏi này (nói chung để phân phối cắt ngắn). Xem công cụ ước tính tối đa cho phân phối bị cắt ngắn . Nó cũng có thể quan tâm để so sánh ước lượng Maximum Likelihood vào dung dịch tối đa Entropy nhất định (với mã) tại Max Entropy Solver trong R .

— whuber
nguồn

2

$a=0$ $\mu_t$ $\sigma_t$

$\mu$ $\sigma$

$\mu = \bar{x}= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}x_i$

$\sigma = s = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}$
$TB=a=0$ $\bar{x}$

$TB = a$ $\bar{x} \le 3s$
$\omega, P_3(\omega), P_4(\omega)$ $Q(\omega)$

$\omega = \frac{s^2}{(a-\bar{x})^2}$

$P_3(\omega) = 1+5,74050101\omega - 13,53427037\omega^2 + 6,88665552\omega^3$

$P_4(\omega) = -0,00374615 + 0,17462558\omega - 2,87168509\omega^2 + 17,48932655\omega^3 - 11,91716546\omega^4$

$Q(\omega) = \frac{P_4(\omega)}{P_3(\omega)}$
$\omega \le 0,57081$ $\mu_t$ $<0$
$\mu_t$ $\sigma_t$

$\mu_t = \bar{x} + Q(\omega) \cdot (a-\bar{x})$

$\sigma_{t}^{2} = s^2 + Q(\omega) \cdot (a-\bar{x})^2$

Đó là tất cả...

— JFS
nguồn