Tên cho sản phẩm chéo phụ thuộc vào nhà điều hành

Giả sử rằng chúng ta có một ma trận . Các phép biến đổi khác nhau sử dụng các toán tử theo cột khác nhau có thể dẫn đến một ma trận đối xứng . Ví dụ: ma trận hiệp phương sai có thể được tính bằng toán tử sản phẩm chấm , theo đó mỗi giá trị của ma trận hiệp phương sai là sản phẩm chấm của hai cột của ma trận gốc (chia cho ) : $\\n\times p$ $\mathbf{M}$ $\\p\times p$ $\mathbf{S}$ $\mathbf{C}$ $\mathbf{M}$ $n-1$

$\mathbf{C} = { 1 \over {n-1} } \mathbf{M}^{T} \cdot \mathbf{M}$

Tương tự, ma trận tương quan có thể được xác định bởi trong đó và là các cột của và là thước đo tương quan giống như hệ số thời điểm sản phẩm Pearson . Trong trường hợp này, toán tử là hệ số tương quan bivariate. $\mathbf{P}$ $\mathbf{P}_{ij} = \mathrm{corr}(C_i,C_j)$ $\mathbf{C}_i$ $\mathbf{C}_j$ $\mathbf{C}$ $\mathrm{corr}$

Liệu chuyển đổi phụ thuộc toán tử này có một tên?

correlation terminology covariance-matrix

— Ismael Ghalimi
nguồn

Trong câu trả lời này, tôi đã phác thảo làm thế nào tất cả các ma trận này là các sửa đổi của X'Xma trận SSCP . Đối với mối quan tâm kinh viện hơn nữa: Zegers, mười Berge (Psychometrica, 1985) hợp nhất theo một hệ số chung duy nhất 4 hệ số: coef nhận dạng, coefitive coef (dựa trên hiệp phương sai), cosine, tương quan Pearson.

— ttnphns

Tôi không khuyên bạn nên tin bài viết Wikipedia về "Ma trận ngữ pháp". Thật ra, "Gramian" có nghĩa là những thứ khác nhau. Ví dụ, trong tài liệu phân tích nhân tố, từ này dài (từ những năm 1930) được sử dụng như một từ đồng nghĩa với "ma trận vuông bán nguyệt dương". Trong nhiều nguồn, "Ma trận Gram" không giống như "Ma trận Gramian", v.v.

— ttnphns

Một số hệ thống máy tính định hướng véc tơ, như APL và Mathicala , có các khái quát hóa tích hợp của loại này. Xem tài liệu tham khảo.wolfram.com/lingu/ref/Inner.html chẳng hạn.

— whuber

Ismael: Nếu bạn cần một nhãn cho X'Xma trận - có nhiều từ đồng nghĩa hoặc tương đương, đến từ những người thuộc các lĩnh vực và nền tảng khác nhau. Phân tích dữ liệu thống kê đa biến là một trong những nhánh lâu đời nhất. Ở đó, nó được gọi là ma trận Sum-Squares-and-Crossproducts hoặc đơn giản là ma trận Crossproduct. Tôi không khuyên dùng nhiều từ Gramian hoặc Gram vì những lý do được nêu trong nhận xét của tôi ở trên.

— ttnphns

@ttnphns Tôi nghĩ câu hỏi của Ismael rộng hơn, anh ta muốn đặt tên cho bất kỳ ma trận trong đó có thể là bất kỳ hàm nào (có lẽ chỉ là đối xứng?) (và là các cột của ); ví dụ: ma trận thông tin lẫn nhau giữa các biến hoặc ma trận của hiệp phương sai khoảng cách giữa chúng, bất cứ điều gì. Ismael, tôi đã hiểu đúng chưa? Nếu vậy, thì tôi không nghĩ có một tên chung cho điều đó.

f (X_{i}, X_{j})

$f(X_i, X_j)$

f ()

$f()$

X_{i}

$X_i$

X

$X$

p \times p

$p\times p$

p \times p

$p\times p$

— amip

Sự hiểu biết của tôi về câu hỏi là nó yêu cầu đặt tên cho bất kỳ matrix với các phần tử , trong đó là các cột của một ma trận dữ liệu và là một số hàm tùy ý. $p\times p$ $\mathbf F$ $F_{ij} = f(\mathbf X_i, \mathbf X_j)$ $\mathbf X_k$ $n\times p$ $\mathbf X$ $f(\cdot, \cdot)$

Điều này có thể được xem như là một khái quát của ma trận hiệp phương sai (nếu là hiệp phương sai), ma trận tương quan (nếu là tương quan), ma trận tổng bình phương và sản phẩm chéo (nếu là sản phẩm chấm), v.v. $f$ $f$ $f$

Lưu ý rằng ngay cả khi là đối xứng và "hợp lý", ma trận kết quả có thể không có giá trị dương. Đây là trường hợp ví dụ khi là thông tin lẫn nhau ( như đã nêu trong tiêu đề của bài viết này ). $f$ $\mathbf F$ $f$

Tôi nghi ngờ rằng có một thuật ngữ chung cho . Nếu bạn thực sự phải có một cái tên cho nó, tôi nghĩ bạn nên phát minh ra nó. Nếu của bạn được cho là đo một số mối quan hệ giữa các biến và , thì có lẽ có thể được gọi là "ma trận mối quan hệ chéo" hay đơn giản là "ma trận mối quan hệ"? $\mathbf F$ $f$ $i$ $j$ $\mathbf F$

— amip
nguồn

Tôi nghĩ rằng bạn có thể sử dụng ngôn ngữ tái tạo các không gian Hilbert của hạt nhân và coi là ma trận Gram được liên kết với kernel , với điều kiện thỏa mãn các điều kiện tiêu chuẩn.

F

$\mathbf F$

f

$f$

f

$f$

— Đức Hồng Y

@cardinal Tôi đang suy nghĩ liệu tôi có nên đề cập đến điều này trong câu trả lời của mình không. Nhưng thông thường ma trận nhân (ma trận Gram) được hiểu là , tức là nó đo "mối quan hệ" (khoảng cách nhân) giữa các mẫu, trong khi ở đây OP xem xét ma trận đo "mối quan hệ" giữa các biến . Vì vậy, tôi nghĩ rằng để gọi nó là ma trận kernel / Gram có thể gây nhầm lẫn; bạn nghĩ sao? (Ngoài ra, người ta có thể xem xét các hàm không thỏa mãn điều kiện kernel, ví dụ như thông tin rõ ràng lẫn nhau.)

n \times n

$n\times n$

p \times p

$p \times p$

— amip

(+1) Trong khi, ở một khía cạnh nào đó, sự khác biệt giữa "hàng" và "cột" có vẻ hơi hời hợt, tôi nghĩ rằng bạn nêu lên một điểm rất hợp lệ về sự nhầm lẫn tiềm ẩn có thể gây ra bởi đề xuất trong nhận xét của tôi.

— Đức Hồng Y

Cảm ơn bạn rất nhiều vì đã làm rõ sự khác biệt với ma trận Gram. Rất hữu ích.

— Ismael Ghalimi