Ma trận hiệp phương sai (hình cầu) là gì?

Ai đó có thể giải thích cho tôi một cách đơn giản một ma trận hiệp phương sai đẳng hướng là gì không? Tôi không thể tìm thấy bất cứ điều gì trực tuyến.

terminology covariance-matrix definition

— kiểm tra
nguồn

Ma trận hiệp phương sai được gọi là đẳng hướng hoặc hình cầu , nếu nó tương xứng với ma trận danh tính: tức là nó là đường chéo và tất cả các phần tử trên đường chéo đều bằng nhau. $\mathbf C$

C = λ I,

$\mathbf C = \lambda \mathbf I,$

Định nghĩa này không phụ thuộc vào hệ tọa độ; nếu chúng ta xoay hệ tọa độ với ma trận xoay trực giao , thì ma trận hiệp phương sai sẽ biến thành tức là sẽ giữ nguyên. $\mathbf V$

V^{⊤} C V = V^{⊤} \cdot λ I \cdot V = V^{⊤} V \cdot λ I = λ I,

$\mathbf V^\top \mathbf C \mathbf V = \mathbf V^\top \cdot \lambda \mathbf I \cdot\mathbf V = \mathbf V^\top \mathbf V \cdot \lambda \mathbf I = \lambda \mathbf I,$

Theo trực giác, ma trận hiệp phương sai đẳng hướng tương ứng với đám mây dữ liệu "hình cầu". Một hình cầu vẫn là một hình cầu sau khi quay.

— amip
nguồn

Điều gì xảy ra nếu các biến có thể được xoay để lấy ma trận hiệp phương sai ?

λ I

$\lambda \mathbf I$

— Aksakal

@Aksakal Xem cập nhật.

— amip

+1. Nhưng thật kỳ lạ, một định nghĩa hoàn toàn khác về "đẳng hướng" cũng áp dụng cho bởi vì - như thường lệ với ma trận hiệp phương sai - nó đại diện cho một dạng bậc hai trên một không gian vectơ thực. Nhưng theo nghĩa khác, ma trận hiệp phương sai duy nhất là ma trận không!

C

$C$

— whuber

@whuber Thú vị! Tôi không nhớ rằng có tồn tại một khái niệm về dạng bậc hai "đẳng hướng". Nhưng đọc định nghĩa bây giờ, sẽ không có bất kỳ ma trận hiệp phương sai nào có ít nhất một giá trị riêng bằng 0 là "đẳng hướng" theo nghĩa đó?

— amip

Bạn nói đúng - Tôi đã chỉ định sai định lượng. Theo định nghĩa, một dạng bậc hai đẳng hướng có ít nhất một vectơ đẳng hướng không khác (chứ không phải tất cả các vectơ là đẳng hướng).

— whuber

Hiệp phương sai chỉ là một hàm của. Bạn có thể tìm thấy một định nghĩa ở đó . $|x - x'|$

Chỉnh sửa: xin lỗi tôi đọc sai, đối với ma trận, câu trả lời đúng là của amip.

— mic
nguồn

Các câu hỏi hỏi về ma trận hiệp phương sai . Tất nhiên một ma trận có thể được xem như là một hàm, nhưng tôi đoán điều này đòi hỏi một số chi tiết cho OP.

— amip