Sẽ có một Tribble không hạnh phúc ở Oz?

Đây là một vấn đề thú vị được mang đến cho tôi bởi một sinh viên. Mặc dù ban đầu nó được đặt theo cụm từ những viên đạn tiêu diệt lẫn nhau được bắn đều đặn bằng một khẩu súng, tôi nghĩ bạn có thể thích một bài thuyết trình hòa bình hơn.

Trong thế giới phẳng vô tận của xứ Oz, Con đường gạch vàng bắt đầu ở trung tâm Thành phố Ngọc lục bảo, thư giãn khắp vùng nông thôn và tiếp tục mãi mãi mà không vượt qua chính nó. Vào buổi trưa mỗi ngày, một Tribble lưỡng tính trẻ mạnh mẽ bắt đầu lăn dọc theo con đường này từ nguồn gốc của nó với tốc độ được lựa chọn ngẫu nhiên lên đến một km mỗi ngày. Trong suốt hành trình của nó, nó sẽ tiếp tục lăn với cùng tốc độ, không bao giờ dừng lại. Nhưng nếu từng có một Tribble vượt qua một người khác trên đường, mỗi người sẽ ngay lập tức nhận ra người bạn tâm giao của mình và cả hai thả sang một bên (có lẽ là để sinh sản và cuối cùng cung cấp thêm Tribble trở về nhà).

Như bạn đã biết, những lần giao phối như vậy xảy ra thường xuyên, bởi vì khả năng bất kỳ hai vật thể nào lăn với tốc độ chính xác là bằng không. Ôi hạnh phúc! Nhưng cuộc sống có được đảm bảo tốt cho tất cả chúng không?

Cơ hội mà ít nhất một Tribble tiếp tục mãi mãi, không bao giờ vượt qua hoặc bị vượt qua là gì?

probability stochastic-processes puzzle

— whuber
nguồn

Có phải điều này giả định rằng Tribble bắt đầu du hành tại một thời điểm cụ thể (để có Tribble # 1) và tiếp tục mãi mãi kể từ đó, và xác suất nên được tính trong khoảng thời gian vô hạn này?

— amip nói rằng Phục hồi Monica

@amoeba Nếu bạn thấy nó tạo ra sự khác biệt khi cho rằng có một thời gian bắt đầu xác định, thì sẽ rất thú vị để phân tích sự khác biệt đó.

— whuber

math.stackexchange.com/questions/1526292/colliding-bullets

— Alex R.

Cạn ở Oz? Vũ trụ hư cấu của bạn có vẻ hơi lẫn lộn.

— Chuyên gia Kodi

@Kodio Cả hai vũ trụ đều nổi tiếng với việc giao cắt các vũ trụ khác :-).

— whuber

Chỉnh sửa: Tôi dường như đã trộn lẫn ý tưởng về xác suất và xác suất dương 1. Tuyên bố đã được chứng minh ở đây yếu hơn nhiều so với tôi mong đợi.

Theo trực giác, câu trả lời là 0. Không khó để chứng minh rằng

Bất kỳ Tribble nào, với xác suất dương, cuối cùng cũng có được một người bạn đời.

Nhưng tôi nghĩ rằng điều này có thể không đủ để ám chỉ rằng với xác suất tích cực, mọi thành viên cuối cùng đều có được một người bạn đời, theo nghịch lý của Zeno.

Đây là một bằng chứng của tuyên bố trích dẫn. Trước tiên, hãy thay thế vấn đề bằng một công thức thay thế đơn giản hơn như sau. Có một ngăn xếp bắt đầu trống rỗng. Một máy tính rút ra các biến thiên ngẫu nhiên theo trình tự một cách độc lập và thống nhất từ [0, 1]. Mỗi khi một giá trị được rút ra, ngăn xếp thay đổi.

Nếu ngăn xếp trống hoặc mục trên cùng của ngăn xếp có giá trị lớn hơn, thì một mục mới sẽ được thêm vào với giá trị mới. (Một viên đạn chậm hơn viên đạn cuối cùng hoặc một viên đạn chậm hơn viên đạn cuối cùng đã được tạo ra.)
Nếu không, các mục hàng đầu được loại bỏ. (Đạn hoặc viên đạn va chạm.)

(Công thức này không bao gồm sự kiện viên đạn hoặc Tribble nhanh hơn viên đạn trước đó được tạo ra nhưng sau đó bị phá hủy trước khi nó bắn trúng viên trước, nhưng một sự kiện như vậy khiến cho ngăn xếp giống nhau, vì vậy nó không có kết quả.)

$1$ $I_0$ $v_0$ $k$ $I_0$ $v_1,\; v_2,\; …,\; v_k$ $v_k$ $k + 1$ $(v_k, 1)$ $(v_{k-1}, 1)$ $(v_0, 1)$ $I_0$ $(1 - v_k)(1 - v_{k-1})\cdots(1 - v_0)$ , là một sản phẩm hữu hạn của các số dương, vì vậy nó là dương.

— Nhà quang học học
nguồn