Khi các mô hình hỗn hợp không tương quan bằng không về mặt lý thuyết?

Báo giá khối bên dưới, từ các nhà lãnh đạo trong lĩnh vực mô hình hiệu ứng hỗn hợp, tuyên bố rằng phối hợp dịch chuyển trong các mô hình có tương quan bằng không giữa các hiệu ứng ngẫu nhiên (mô hình 'ZCP') thay đổi dự đoán mô hình. Nhưng, ai đó có thể giải thích hoặc tiếp tục biện minh cho tuyên bố của họ?

Các tuyên bố trong câu hỏi được lấy từ bài báo năm 2015 của Bates và cộng sựlme4 , Các mô hình hiệu ứng hỗn hợp tuyến tính phù hợp sử dụng lme4 , trang 7, đoạn thứ hai ( liên kết tải xuống ). $\newcommand{\slope}{\text{slope}} \newcommand{\int}{\text{int}} \newcommand{\intercept}{\text{intercept}}$

Đây là một diễn giải về những gì họ đã viết:

Mặc dù các mô hình tham số tương quan bằng không được sử dụng để giảm độ phức tạp của các mô hình độ dốc ngẫu nhiên, chúng có một nhược điểm. Các mô hình trong đó độ dốc và giao thoa được phép có mối tương quan khác không là bất biến đối với các dịch chuyển cộng gộp của một yếu tố dự đoán liên tục.

Sự bất biến này bị phá vỡ khi mối tương quan bị hạn chế về không; bất kỳ sự thay đổi nào trong công cụ dự đoán sẽ nhất thiết dẫn đến thay đổi mối tương quan ước tính, và khả năng và dự đoán của mô hình. ¹ Ví dụ: chúng ta có thể loại bỏ mối tương quan trong fm1 chỉ bằng cách thay đổi Ngày [công cụ dự đoán đi kèm $\slope$ ] bằng một tỷ lệ bằng tỷ lệ của độ lệch chuẩn giữa các chủ thể ước tính nhân với tương quan ước tính, tức là ² ,

$$\rho_{\slope:\intercept}\times\frac{\sigma_{\slope}}{\sigma_{\intercept}}$$

Việc sử dụng các mô hình như vậy nên được hạn chế một cách lý tưởng trong các trường hợp dự đoán được đo theo tỷ lệ (nghĩa là điểm 0 trên thang đo có ý nghĩa, không chỉ là vị trí được xác định bởi sự thuận tiện hoặc quy ước).

Câu hỏi:

Được đánh số phù hợp với các siêu ký tự ở trên ...

1. Tôi có thể thấy rằng bất kỳ sự thay đổi nào trong hệ tọa độ mà theo đó công cụ dự đoán được đo sẽ dẫn đến thay đổi tương quan ước tính, do đó dẫn đến tương quan khác không. Điều này ủng hộ tuyên bố rằng các mô hình tham số tương quan bằng 0 không phải là bất biến dưới sự dịch chuyển trong các hệ tọa độ dự đoán và do đó, bất kỳ mô hình nào có tương quan hiệu ứng ngẫu nhiên khác không đều có thể được chuyển đổi thành mô hình có tương quan bằng 0 bởi sự thay đổi phù hợp trong tọa độ. Tôi nghĩ rằng nó cũng hỗ trợ đoạn thứ ba trong phần diễn giải ở trên: các mô hình ZCP (và các mô hình chặn 0 không nhìn thấy bên dưới; nhưng vui lòng kiểm tra tôi về điều này ) chỉ hợp lệ đối với các mô hình sử dụng các hệ thống tọa độ nhất định, đặc biệt. Nhưng tại sao một sự thay đổi phối hợp thay đổi dự đoán cho các mô hình như vậy?

   Ví dụ, sự thay đổi tọa độ cũng sẽ thay đổi thuật ngữ chặn hiệu ứng cố định cho mức trung bình của nhóm (xem bên dưới), nhưng chỉ bằng một lượng thích hợp với thay đổi về nguồn gốc của hệ tọa độ của người dự đoán. Thay đổi như vậy không ảnh hưởng đến dự đoán mô hình, miễn là hệ thống tọa độ mới được sử dụng cho công cụ dự đoán thay đổi.

   Để giải thích, nếu độ dốc hiệu ứng cố định liên quan đến yếu tố dự báo thay đổi là dương và nguồn gốc của hệ tọa độ của yếu tố dự đoán bị dịch chuyển theo hướng tiêu cực, thì khả năng chặn hiệu ứng cố định sẽ giảm và mọi hiệu ứng ngẫu nhiên liên quan cũng sẽ thay đổi tương ứng, phản ánh định nghĩa mới về 'nguồn gốc' (và do đó đánh chặn) trong hệ tọa độ dịch chuyển. Nhân tiện, tôi nghĩ lý do này cũng ngụ ý rằng một mô hình đánh chặn bằng 0 cũng không phải là bất biến dưới những thay đổi như vậy.

2. Tôi nghĩ rằng tôi có một cách hợp lý để làm việc này, nhưng đã nhận được một câu trả lời hơi khác so với Bates et al. Tôi đang đi sai ở đâu đó?

   Dưới đây là câu trả lời của tôi. Tiếp theo đó là mô tả về cách tôi đi đến kết quả của mình. Tóm lại, tôi thấy rằng nếu tôi thay đổi âm gốc theo , thì trong hệ tọa độ mới, bộ dự đoán sẽ nhận các giá trị , sau đó tương quan trong hệ tọa độ mới bằng không nếu:$x$$\delta > 0$$x' = x + \delta$$\rho'$

   $$\delta=\rho_{\slope:\intercept}\times\frac{\sigma_{\intercept}}{\sigma_{\slope}}$$

   Điều này khác với kết quả của Bates et al .

Mô tả phương pháp của tôi (Đọc tùy chọn) : Giả sử chúng ta có mối tương quan của hai hiệu ứng ngẫu nhiên, và ( viết tắt), cả hai đều tương ứng với cùng một hệ số nhóm với cấp độ (được đánh số theo , từ đến ). Chúng ta cũng nói rằng công cụ dự đoán liên tục có ngẫu nhiên được ghép nối được gọi là , được xác định sao cho sản phẩm tạo ra đóng góp có điều kiện cho giá trị được trang bị cho cấp$\slope$$\intercept$$\int$$k$$i$$1$$k$$\slope$$x$$x\times\slope_i$$\hat y_{obs}$$i$của các yếu tố nhóm liên quan. Mặc dù trong thực tế, thuật toán MLE xác định giá trị của để tối đa hóa khả năng , tôi hy vọng rằng biểu thức bên dưới phải là một cách chính xác để xác định các hiệu ứng của một bản dịch thống nhất trong , hệ số nhân của hiệu ứng ngẫu nhiên cho .$\rho$$x$$\slope$

Để đi đến kết quả của mình, trước tiên tôi viết lại giá trị cũ cho phần chặn theo giá trị mới cho phần chặn, (ở đây, ,' bên trái 'thay đổi trong nguồn gốc cho dự đoán ). Sau đó, tôi thay thế biểu thức kết quả vào tử số của công thức trên cho , tính giá trị của dẫn đến hiệp phương sai bằng 0 trong hệ tọa độ mới. Lưu ý rằng như đã nêu trong Câu hỏi 1 ở trên, thuật ngữ chặn hiệu ứng cố định cũng sẽ thay đổi theo cách tương tự: . (Ở đây,$\int' = -\delta \times \slope + \int$$\delta > 0$$x$$\rho$$\delta$$\beta_0' =- \delta\times\beta_x + \beta_0$$\beta_x$là yếu tố dự đoán hiệu ứng cố định liên quan đến yếu tố dự đoán)$x.$

1. Câu trả lời cho câu hỏi này hóa ra khá dứt khoát . Nếu người ta thay đổi tọa độ của các biến độc lập của mô hình ZCP và cho phép các mối tương quan phát triển theo cách không bị ràng buộc , các dự đoán sẽ không thay đổi, bởi vì các mô hình hiệu ứng hỗn hợp tuyến tính với tương quan không bị ràng buộc là bất biến dịch thuật (người ta có thể chỉ ra điều này với một chút toán học) . Nhưng theo định nghĩa , mô hình ZCP có tương quan bị ràng buộc về . Trên các tọa độ dịch chuyển, các mối tương quan sẽ không được phép phát triển theo yêu cầu trong mô hình LME không giới hạn. Do đó, các mô hình ZCP không phải là bất biến dịch và sự thay đổi tọa độ sẽ$0$thay đổi dự đoán mô hình. Và (nếu bạn cho rằng các mô hình LME là dịch bất biến đối với các dịch chuyển tọa độ hợp lý) thì chỉ các mô hình trong đó các dịch chuyển tọa độ đó không có ý nghĩa về mặt lý thuyết như các mô hình ZCP (nghĩa là các mô hình 'đặc biệt' được đề cập trong đoạn thứ ba của đoạn diễn giải của Bates et al ở trên). [Lưu ý: Tôi sẽ chỉnh sửa câu trả lời này trong tương lai để bao gồm các công thức tôi đã rút ra cho mối tương quan phát triển khi phối hợp thay đổi mô hình ZCP ban đầu và bằng chứng rằng các mô hình LME có tương quan không bị ràng buộc là bất biến dịch.]
2. Kết quả của Bates et al chỉ đơn giản là một lỗi đánh máy. Câu trả lời, , phải có cùng kích thước với công cụ dự đoán, ( Ngày ), được dịch chuyển. Vì, wlog, và có thể được coi là có các kích thước thống nhất, , có các kích thước (cùng kích thước với ), phải nằm trong mẫu số để để có kích thước chính xác.$\delta$$x$$\sigma_{intercept}$$\rho$$\sigma_{slope}$$1/x$$slope$$\delta$