Làm cách nào tôi có thể (bằng số) các giá trị gần đúng cho phân phối beta với alpha & beta lớn

Có cách nào ổn định về mặt số để tính các giá trị của phân phối beta cho số nguyên lớn alpha, beta (ví dụ: alpha, beta> 1000000) không?

Trên thực tế, tôi chỉ cần khoảng tin cậy 99% xung quanh chế độ, nếu điều đó bằng cách nào đó làm cho vấn đề dễ dàng hơn.

Thêm : Tôi xin lỗi, câu hỏi của tôi không được nêu rõ như tôi nghĩ. Điều tôi muốn làm là đây: Tôi có một máy kiểm tra các sản phẩm trên băng chuyền. Một số phần của các sản phẩm này bị máy từ chối. Bây giờ nếu người vận hành máy thay đổi một số cài đặt kiểm tra, tôi muốn cho anh ấy / cô ấy biết tỷ lệ từ chối ước tính và một số gợi ý về mức độ đáng tin cậy của ước tính hiện tại.

Vì vậy, tôi nghĩ rằng tôi coi tỷ lệ từ chối thực tế là một biến ngẫu nhiên X và tính phân phối xác suất cho biến ngẫu nhiên đó dựa trên số lượng đối tượng bị từ chối N và các đối tượng được chấp nhận M. Nếu tôi giả sử phân phối trước thống nhất cho X, thì đây là một phân phối beta tùy thuộc vào N và M. Tôi có thể trực tiếp hiển thị phân phối này cho người dùng hoặc tìm một khoảng [l, r] để tỷ lệ từ chối thực tế nằm trong khoảng này với p> = 0,99 (sử dụng thuật ngữ của shabbychef) và hiển thị điều này khoảng thời gian. Đối với M, N nhỏ (tức là ngay sau khi thay đổi tham số), tôi có thể tính toán phân phối trực tiếp và xấp xỉ khoảng [l, r]. Nhưng đối với M, N lớn, cách tiếp cận ngây thơ này dẫn đến lỗi tràn, bởi vì x ^ N * (1-x) ^ M là nhỏ để được biểu diễn dưới dạng float chính xác kép.

Tôi đoán đặt cược tốt nhất của tôi là sử dụng phân phối beta ngây thơ của tôi cho M, N nhỏ và chuyển sang phân phối bình thường với cùng giá trị trung bình và phương sai ngay khi M, N vượt quá ngưỡng. Điều đó có ý nghĩa?

Một xấp xỉ bình thường hoạt động rất tốt, đặc biệt là ở đuôi. Sử dụng giá trị trung bình của và phương sai của . Ví dụ: lỗi tương đối tuyệt đối trong xác suất đuôi trong tình huống khó khăn (trong đó độ lệch có thể đáng lo ngại), chẳng hạn như đỉnh khoảng và nhỏ hơn khi bạn hơn 1 SD từ giá trị trung bình. (Điều này không phải vì beta quá lớn: với , các lỗi tương đối tuyệt đối được giới hạn bởiα $\alpha/(\alpha+\beta)$ α=106,β=1080,000260,00006α=β=106$\frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^{2} (1+\alpha+\beta)}$$\alpha = 10^6, \beta = 10^8$$0.00026$$0.00006$$\alpha = \beta = 10^6$$0.0000001$.) Do đó, phép tính gần đúng này là tuyệt vời cho bất kỳ mục đích nào liên quan đến khoảng 99%.

Trong phần chỉnh sửa câu hỏi, lưu ý rằng người ta không tính toán các tích phân beta bằng cách thực sự tích hợp tích phân: tất nhiên bạn sẽ nhận được kết quả (mặc dù chúng không thực sự quan trọng, vì chúng không đóng góp đáng kể vào tích phân) . Có rất nhiều, rất nhiều cách để tính tích phân hoặc gần đúng nó, như được ghi lại trong Johnson & Kotz (Phân phối trong Thống kê). Một máy tính trực tuyến được tìm thấy tại http://www.danielsoper.com/statcalc/calc37.aspx . Bạn thực sự cần nghịch đảo của tích phân này. Một số phương pháp để tính toán nghịch đảo được ghi lại trên trang Mathicala tại địa chỉ http://fifts.wolfram.com/GammaBetaErf/InverseBetaRegularized/. Mã được cung cấp trong Công thức số (www.nr.com). Một máy tính trực tuyến thực sự tốt là trang web Wolfram Alpha (www.wolframalpha.com): nhập inverse beta regularized (.005, 1000000, 1000001)cho điểm cuối bên trái và inverse beta regularized (.995, 1000000, 1000001)cho điểm cuối bên phải ( , khoảng cách 99%).$\alpha=1000000, \beta=1000001$

Một thử nghiệm đồ họa nhanh cho thấy phân phối beta trông rất giống phân phối bình thường khi cả alpha và beta đều rất lớn. Bằng cách googling "giới hạn phân phối beta bình thường", tôi đã tìm thấy http://nrich.maths.org/discus/messages/117730/143065.html?1200700623 , đưa ra một 'bằng chứng' bằng tay.

Trang wikipedia cho bản phân phối beta cung cấp giá trị trung bình, chế độ (v gần với trung bình của alpha và beta lớn) và phương sai, vì vậy bạn có thể sử dụng phân phối bình thường với cùng một phương sai & phương sai để có được xấp xỉ. Liệu đó có phải là một xấp xỉ đủ tốt cho mục đích của bạn hay không phụ thuộc vào mục đích của bạn là gì.

Tôi sẽ suy luận bạn muốn có một khoảng sao cho xác suất rút ngẫu nhiên từ Beta RV nằm trong khoảng với xác suất 0,99, với điểm thưởng cho và là đối xứng quanh chế độ. Theo bất đẳng thức Gauss hoặc bất đẳng thức Vysochanskii - Petunin, bạn có thể xây dựng các khoảng có chứa khoảng và sẽ là xấp xỉ khá tốt. Đối với đủ lớn , bạn sẽ gặp các vấn đề về số dưới mức thậm chí đại diện cho và dưới dạng các số riêng biệt, vì vậy tuyến đường này có thể đủ tốt.l r [ l , r ] α , β l $[l,r]$$l$$r$$[l,r]$$\alpha, \beta$ $l$$r$

Nếu là biến phân phối beta, thì đó là tỷ lệ cược log của (tức là: được phân phối gần như bình thường. Điều này đúng ngay cả đối với các bản phân phối beta bị lệch nhiều như làp l o g ( p / ( 1 - p ) ) m i n ( α , β ) > $p$$p$$log(p/(1-p))$$min(\alpha,\beta) > 100$

Ví dụ

f <- function(n, a, b) {
    p <- rbeta(n, a, b)
    lor <- log(p/(1-p))
    ks.test(lor, 'pnorm', mean(lor), sd(lor))$p.value
}
summary(replicate(50, f(10000, 100, 1000000)))

thường tạo ra một đầu ra như

tóm tắt (sao chép (50, f (10000, 100, 1000000))) Tối thiểu 1 Qu. Trung bình Trung bình 3 Qu. Tối đa 0,01205 0,187070 0,8680 0,24810 0,36170 0,68730

tức là giá trị p điển hình là khoảng 0,2.

Vì vậy, ngay cả với 10000 mẫu, thử nghiệm Kolmogorov-Smirnov vẫn thiếu khả năng phân biệt biến đổi tỷ lệ cược log của biến phân phối beta bị lệch rất cao với .$\alpha=100, \beta=100000$

Tuy nhiên, một thử nghiệm tương tự về phân phối chính nó$p$

f2 <- function(n, a, b) {
    p <- rbeta(n, a, b)
    ks.test(p, 'pnorm', mean(p), sd(p))$p.value
}
summary(replicate(50, f2(10000, 100, 1000000)))

sản xuất một cái gì đó như

summary(replicate(50, f2(10000, 100, 1000000)))
     Min.   1st Qu.    Median      Mean   3rd Qu.      Max. 
2.462e-05 3.156e-03 7.614e-03 1.780e-02 1.699e-02 2.280e-01 

với giá trị p điển hình khoảng 0,01

Hàm R qqnormcũng cung cấp một trực quan hữu ích, tạo ra một biểu đồ rất thẳng cho phân phối tỷ lệ cược log cho thấy tính quy phạm gần đúng phân phối của biến beta DSitribution tạo ra một đường cong đặc biệt biểu thị tính không quy tắc

Do đó, thật hợp lý khi sử dụng xấp xỉ Gaussian trong không gian tỷ lệ cược log ngay cả đối với các giá trị bị lệch rất cao miễn là cả hai đều trên 100.$\alpha,\beta$