Thống kê độc lập và trật tự

Tôi có một vấn đề trong tay, mà tôi không thể tiến hành. Ai đó có thể giúp tôi bắt đầu?

$Y_1<Y_2<Y_3$ : Thống kê đơn hàng có kích thước 3 từ phân phối có pdf

$$f(x)=2x\ \ \ 0<x<1$$ Ngoài ra, hãy xác định $$U_1={Y_1\over Y_2} \ \ \text{and }\ \ \ U_2={Y_2\over Y_3}$$ Nhiệm vụ là tính toán pdf chung của$U_1\ \&\ U_2$.

Công việc của tôi: Tôi đã tìm ra biên của $U_1\ \&\ U_2$ .

$$P(U_1\le u_1)=\int_0^1\int_0^{u_1y_2}f_{Y_1,Y_2}(y_1,y_2)dy_1dy_2$$ $$P(U_2\le u_2)=\int_0^1\int_0^{u_2y_3}f_{Y_2,Y_3}(y_2,y_3)dy_2dy_3$$ Tôi phải làm gì tiếp theo?

Dưới đây là một hướng dẫn để giải quyết vấn đề này (và những người khác thích nó). Tôi sử dụng các giá trị mô phỏng để minh họa, vì vậy hãy bắt đầu bằng cách mô phỏng một số lượng lớn các thực hiện độc lập từ phân phối với mật độ . (Tất cả các mã trong câu trả lời này được viết bằng .)$f$R

n <- 4e4 # Number of trials in the simulation
x <- matrix(pmax(runif(n*3), runif(n*3)), nrow=3)

# Plot the data
par(mfrow=c(1,3))
for (i in 1:3) {
  hist(x[i, ], freq=FALSE, main=paste("i =", i))
  curve(f(x), add=TRUE, col="Red", lwd=2)
}

Các biểu đồ cho thấy hiện thực độc lập của các yếu tố thứ nhất, thứ hai và thứ ba của các bộ dữ liệu. Biểu đồ đường cong màu đỏ f . Rằng chúng trùng với biểu đồ xác nhận mô phỏng đang hoạt động như dự định.$40,000$$f$

Bạn cần tính toán mật độ khớp của . $(Y_1, Y_2, Y_3)$Vì bạn đang nghiên cứu thống kê đơn hàng, điều này nên là thông lệ - nhưng mã cung cấp một số manh mối, bởi vì nó vẽ sơ đồ phân phối của chúng để tham khảo.

y <- apply(x, 2, sort)

# Plot the order statistics.
f <- function(x) 2*x
ff <- function(x) x^2
for (i in 1:3) {
  hist(y[i, ], freq=FALSE, main=paste("i =", i))
  k <- factorial(3) / (factorial(3-i)*factorial(1)*factorial(i-1))
  curve(k * (1-ff(x))^(3-i) * f(x) * ff(x)^(i-1), add=TRUE, col="Red", lwd=2)
}

Dữ liệu tương tự đã được sắp xếp lại trong mỗi bộ dữ liệu. Bên trái là biểu đồ của cực tiểu Y 1 của họ , bên phải cực đại Y 3 của họ và ở giữa là trung tuyến Y 2 của họ .$40,000$$Y_1$$Y_3$$Y_2$

$(U_1, U_2)$

$$F(u_1, u_2) = \Pr(U_1 \le u_1, U_2 \le u_2) = \Pr(Y_1 \le u_1 Y_2, Y_2 \le u_2 Y_3).$$

$(Y_1, Y_2, Y_3)$

$$0 \le Y_1 \le u_1 Y_2,\ 0 \le Y_2 \le u_2 Y_3,\ 0 \le Y_3 \le 1.$$

$(U_1, U_2)$$(U_1, U_2)$

par(mfrow=c(1,1))
u <- cbind(y[1, ]/y[2, ], y[2, ]/y[3, ])
plot(u, pch=16, cex=1/2, col="#00000008", asp=1)

$\partial F(u_1, 1)/\partial u_1$$\partial F(1, u_2)/\partial u_2$

par(mfrow=c(1,2))
hist(u[, 1], freq=FALSE); curve(2*x, add=TRUE, col="Red", lwd=2)
hist(u[, 2], freq=FALSE); curve(4*x^3, add=TRUE, col="Red", lwd=2)
par(mfrow=c(1,1))

$U_1$$X_i$

Đây là một giải pháp biểu tượng chính xác theo dõi các bước cần thiết ... ở đây sử dụng các công cụ tự động để thực hiện các công thức nitty

$(X_1, X_2, X_3)$$f(x)$

$(X_{(1)}, X_{(2)}, X_{(3)})$$g(x_1,x_2,x_3)$

nơi mà tôi đang sử dụng các OrderStathình thức chức năng mathStatica gói cho Mathematica .

$(U_1, U_2)$$P\big(\frac{X_{(1)}}{X_{(2)}}<u_1, \,\frac{X_{(2)}}{X_{(3)}}<u_2\big)$

$(U_1, U_2)$$u_1$$u_2$

Cuối cùng, như một kiểm tra Monte Carlo nhanh chóng, đây là so sánh về:

• các giải pháp lý thuyết chính xác dẫn xuất (pdf chung - bề mặt màu cam)

• âm mưu chống lại một bản mô phỏng chung Monte Carlo mô phỏng (biểu đồ 3D):