Có cách giải thích nào khác cho phân phối Gamma với tham số hình không nguyên?

Người ta biết rằng một biến ngẫu nhiên là Gamma được phân phối với tham số hình dạng nguyên tương đương với tổng bình phương của biến ngẫu nhiên phân phối thông thường. $k$ $k$

Nhưng tôi có thể nói gì về một biến ngẫu nhiên phân phối gamma với không nguyên ? Có cách giải thích nào khác ngoài phân phối Gamma không? $k$

probability gamma-distribution

— stollenm
nguồn

Gamma với tham số hình dạng là tổng bình phương của biến ngẫu nhiên thường được phân phối. Gamma với tham số hình dạng là tổng của iid phân phối theo cấp số nhân.

k / 2

$k/2$

k

$k$

k

$k$

k

$k$

— Greenparker

Thêm một cách giải thích về gamma với số nguyên : đó là thời gian chờ đợi cho đến khi lần thứ đến trong quá trình Poisson một chiều với cường độ .

k

$k$

k

$k$

1 / θ

$1/\theta$

— Stephan Kolassa

Nếu và độc lập thì Đặc biệt, nếu , nó được phân phối với cùng phân phối với cho bất kỳ . (Thuộc tính này được gọi là chia hết vô hạn .) Điều này có nghĩa là, nếu khi không phải là số nguyên, có cùng phân phối với với độc lập với và $X\sim{\cal G}(\alpha,1)$ $Y\sim{\cal G}(\beta,1)$

X + Y \sim G (α + β, 1)

$X+Y\sim{\cal G}(\alpha+\beta,1)$

X \sim G (α, 1)

$X\sim{\cal G}(\alpha,1)$

X_{1} + \dots + X_{n} \sim G (α, 1) X_{i} \overset{iid}{\sim} G (α / n, 1)

$X_1+\cdots+X_n\sim{\cal G}(\alpha,1)\qquad X_i\stackrel{\text{iid}}{\sim}{\cal G}(\alpha/n,1)$

n \in N

$n\in\mathbb N$

X \sim G (α, 1)

$X\sim{\cal G}(\alpha,1)$

α

$\alpha$

X

$X$

Y + Z

$Y+Z$

Z

$Z$

Y

$Y$

Y \sim G (⌊ α ⌋, 1) Z \sim G (α - ⌊ α ⌋, 1)

$Y\sim{\cal G}(\lfloor\alpha\rfloor,1)\qquad Z\sim{\cal G}(\alpha-\lfloor\alpha\rfloor,1)$ Nó cũng ngụ ý rằng các hình dạng có giá trị nguyên không có ý nghĩa đặc biệt cho Gammas.

α

$\alpha$

Ngược lại, nếu với , thì nó có cùng phân phối với khi độc lập với và Và do đó, phân phối là bất biến trong $X\sim{\cal G}(\alpha,1)$ $\alpha<1$ $YU^{1/\alpha}$ $Y$ $U\sim{\cal U}(0,1)$

Y \sim G (α + 1, 1)

$Y\sim{\cal G}(\alpha+1,1)$

G (α, 1)

${\cal G}(\alpha,1)$

X \sim (X^{'} + ξ) U^{1 / α} X, X^{'} \sim G (α, 1) U \sim U (0, 1) ξ \sim E (1)

$X \sim (X'+\xi)U^{1/\alpha}\qquad X,X'\sim{\cal G}(\alpha,1)\quad U\sim{\cal U}(0,1)\quad \xi\sim{\cal E}(1)$

— Tây An
nguồn