Nếu

Tôi có một biến $X$ mà tôi biết có phương sai hữu hạn (và do đó cũng có nghĩa là hữu hạn). Có phải luôn luôn đúng là phương sai của nó vẫn hữu hạn sau khi nhân rộng $0 \le Y \le 1$ ?

Lưu ý rằng $X$ và $Y$ không nhất thiết phải độc lập.

Chỉnh sửa: Tôi tin rằng "trường hợp xấu nhất" $Y$ Là $0$ bất cứ khi nào $X < c$ và $1$ bất cứ khi nào $X \ge c$ , đối với một số $c$ (và trường hợp nhân đôi)?

mathematical-statistics variance bounds

— Aaron Voelker
nguồn

Là

Y

$Y$ một biến ngẫu nhiên?

— Greenparker

Có nhưng nó có thể phụ thuộc vào

X

$X$ .

— Aaron Voelker

Một sự bất bình đẳng hoàn toàn đôi khi khá hữu ích trong các tình huống như vậy:

E (X^{2} Y^{2}) \leq E (X^{2}) sup (Y^{2})

$\mathbb{E}(X^2Y^2) \le \mathbb{E}(X^2)\sup(Y^2)$ . (Đây có lẽ là trường hợp đặc biệt đơn giản nhất của bất đẳng thức hölder cho áp dụng cho và .)

p = 1, q = \infty

$p=1,q=\infty$

X^{2}

$X^2$

Y^{2}

$Y^2$

— whuber

Cảm ơn ai. Tôi tin rằng điều này dẫn đến giải pháp chính xác (xem câu trả lời tôi đã thực hiện)!

— Aaron Voelker

Câu trả lời:

Tôi đã không chấp nhận câu trả lời của kjetil kể từ khi được chỉ ra trong các bình luận, nó cho rằng và là độc lập. $X$ $Y$

Câu trả lời sau sẽ hoạt động khi và phụ thuộc, bằng cách sử dụng đề xuất của người đăng ký: $X$ $Y$

\begin{aligned} Var (X Y) & = E ((X Y)^{2}) - E (X Y)^{2} \\ \leq E (X^{2} Y^{2}) \\ \leq E (X^{2}) sup (Y^{2}) \\ = E (X^{2}) \\ = Var (X) + E (X)^{2} \\ < \infty \end{aligned}

$\begin{align} \text{Var}(XY) &= E((XY)^2) - E(XY)^2 \\ &\le E(X^2Y^2) \\ &\le E(X^2)\sup(Y^2) \\ &= E(X^2) \\ &= \text{Var}(X) + E(X)^2 \\ &< \infty \end{align}$

Lưu ý rằng kết quả cũng giữ cho mọi giới hạn (vì sẽ là hữu hạn). $Y$ $\sup(Y^2)$

— Aaron Voelker
nguồn

Cũng lưu ý rằng chúng ta có thể kết luận

| E (X Y) | \leq \sqrt{Var (X) + E (X)^{2}}

$|E(XY)| \le \sqrt{\text{Var}(X) + E(X)^2}$ , từ

Var (X Y) \geq 0 ⟹ E (X Y)^{2} \leq E ((X Y)^{2})

$\text{Var}(XY) \ge 0 \implies E(XY)^2 \le E((XY)^2)$ .

— Aaron Voelker

Tôi không tin kjetil giả định độc lập giữa

X

$X$ và

Y

$Y$ . Quy luật biến đổi tổng thể giữ nói chung, và không giả định độc lập. Vì vậy, tôi có thể tìm thấy không có gì trong tuyên bố của mình mà giả định độc lập. Cũng lưu ý rằng kết luận của bạn giống hệt như kết luận của tôi dựa trên câu trả lời của kjetil.

— Greenparker

Độc lập phải được sử dụng ở đâu đó (tôi đoán khi bao thanh toán kỳ vọng), nếu không phương trình đầu tiên từ câu trả lời của bạn (như thể hiện trong nhận xét của tôi) nói rằng

Var (X Y)

$\text{Var}(XY)$ có giống nhau hay không

X

$X$ và

Y

$Y$ là độc lập, đó là một mâu thuẫn. Việc chúng tôi đi đến cùng một kết luận là một loại "trùng hợp ngẫu nhiên", bởi vì cả hai chúng tôi đều đưa ra giới hạn trên. Của tôi đến từ việc thả

E (X Y)^{2}

$E(XY)^2$ hạn và

Y^{2} \leq sup (Y^{2})

$Y^2 \le \sup(Y^2)$ và bạn đến từ

Var (Y), E (Y^{2}) \leq sup (Y^{2})

$\text{Var}(Y), E(Y^2) \le \sup(Y^2)$ .

— Aaron Voelker

Tôi nghĩ rằng tôi đã tìm ra nơi kjetil đang sử dụng độc lập. Theo định luật tổng phương sai

V a r (X Y) = V a r (E (X Y | Y)) + E (V a r (X Y | Y))

$Var(XY) = Var(E(XY|Y)) + E(Var(XY|Y))$ . Nếu chúng ta chỉ nhìn vào thuật ngữ đầu tiên

V a r (E (X Y ∣ Y)) = V a r (Y^{2} E (X ∣ Y))

$Var(E(XY \mid Y)) = Var(Y^2E(X \mid Y))$ không giống như

V a r (Y^{2} E (X))

$Var(Y^2E(X))$ . Nó chỉ giống nhau khi

X

$X$ và

Y

$Y$ độc lập.

— Greenparker

Tôi đã thay đổi câu trả lời của tôi để phản ánh những thay đổi.

— Greenparker

Bạn cần sử dụng công thức

V (X Y) = E (V (X Y | Y)) + V (E (X Y | Y))

$\DeclareMathOperator{\Var}{\mathbb{V}} \DeclareMathOperator{\E}{\mathbb{E}} \Var (XY) = \E (\Var (XY | Y)) + \Var (\E (XY | Y))$ Ở đâu

V

$\Var$ là toán tử phương sai. Lấy thuật ngữ này cho thuật ngữ, viết

μ = E X, σ^{2} = V X

$\mu=\E X, \sigma^2=\Var X$ ,

E (X Y | Y = y) = E (y X) = y E (X) = μ y

$\E (XY | Y= y) = \E (yX) = y \E (X) =\mu y$ với phương sai (hơn

Y

$Y$ )

V (μ Y)

$\Var (\mu Y)$ đó là hữu hạn kể từ

Y

$Y$ bị ràng buộc.

Sau đó, thuật ngữ khác, $\Var (XY | Y=y) = \Var (yX) = y^2 \Var (X) = \sigma^2 y^2$ mà một lần nữa có một kỳ vọng hữu hạn kể từ $Y$ bị ràng buộc. Vì vậy, câu trả lời là có.

— kjetil b halvorsen
nguồn

Đẹp. Để kiểm tra sự hiểu biết của tôi, đây là sử dụng luật tổng phương sai ? Ngoài ra, điều này dường như chứng minh một cái gì đó tổng quát hơn: rằng phương sai

X Y

$XY$ là hữu hạn miễn là phương sai của cả hai

X

$X$ và

Y

$Y$ có hữu hạn không?

— Aaron Voelker

@Aaron Voelker: Không cần độc lập trong tính toán.

— kjetil b halvorsen

@kjetilbhalvorsen

E (X Y ∣ Y = y) = E (y X)

$\mathbb{E}(XY \mid Y=y) = \mathbb{E}(yX)$ không giữ mà không có một số giả định (chẳng hạn như độc lập).

— Juho Kokkala

@Juho

E (1 X) = E (X) = 0.5

$\mathbb{E}(1 X) = \mathbb{E}(X)=0.5$ , quá. Mối quan hệ

E (X Y ∣ Y = y) = E (X) y

$\mathbb{E}(XY\mid Y=y)=\mathbb{E}(X)y$ là một ví dụ về một định lý rất chung gọi là "lấy ra những gì đã biết". Nó không đòi hỏi sự độc lập của

(X, Y)

$(X,Y)$ . Xem en.wikipedia.org/wiki/Cond điều_Exectation # Basic_properies .

— whuber

@Juho Xin lỗi, nhận xét của tôi thật ngu ngốc. Tất nhiên tôi cần phải viết kỳ vọng có điều kiện vào

E (X Y ∣ Y = y) = E (X ∣ Y = y) y

$\mathbb{E}(XY\mid Y=y)=\mathbb{E}(X\mid Y=y) y$ . Vì một số lý do, tôi chỉ tự động hiểu những kỳ vọng này là có điều kiện ngay cả khi chúng không ....

— whuber