Biến đổi Fourier của phân phối

Những phân phối nào là biến đổi Fourier của riêng họ bên cạnh phân phối bình thường và phân phối arcsine tổng quát ?

distributions fourier-transform

— Neil G
nguồn

Giả sử biến đổi Fourier của là trong đó trong đó . Biến đổi nghịch đảo là $x(t)$ $X(f)$

X (f) = \int_{- \infty}^{\infty} x (t) \exp (- i 2 π f t) d t

$X(f) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) \exp(-i2\pi f t) \mathrm dt$

i = \sqrt{- 1}

$i = \sqrt{-1}$

x (t) = \int_{- \infty}^{\infty} X (f) \exp (i 2 π f t) d f

$x(t) = \int_{-\infty}^{\infty} X(f) \exp(i2\pi f t) \mathrm df$

Một số tính chất của biến đổi Fourier như sau:

Biến đổi Fourier của là $X(t)$ $x(-f)$
Nếu là hàm chẵn có giá trị thực của , thì là hàm chẵn có giá trị thực của . $x(t)$ $t$ $X(f)$ $f$

Do đó, nếu là hàm chẵn có giá trị thực của , thì biến đổi Fourier của hàm chẵn có giá trị thực là $x(t)$ $t$ $X(t)$ $x(f)$

Bây giờ giả sử là hàm mật độ xác suất chẵn (sao cho cho tất cả ) với thuộc tính bổ sung mà . Giả sử cũng biến đổi Fourier có thuộc tính cho tất cả . Sau đó, vì là một hàm có giá trị thực không âm của với vùng , nên là, cũng là hàm mật độ xác suất có thuộc tính $x(t)$ $x(t) \geq 0$ $t$ $x(0) = 1$ $X(f)$ $X(f) \geq 0$ $f$

x (0) = 1 = \int_{- \infty}^{\infty} X (f) d f

$x(0) = 1 = \int_{-\infty}^{\infty} X(f) \mathrm df$

X (f)

$X(f)$

f

$f$

1

$1$

X (f)

$X(f)$

X (0) = 1

$X(0) = 1$ . Một ví dụ về một cặp hàm như vậy là phân phối bình thường được trích dẫn bởi OP Neil G và một ví dụ khác là

x_{1} (t) = \exp (- π t^{2}), X_{1} (f) = \exp (- π f^{2})

$x_1(t) = \exp(-\pi t^2), ~~ X_1(f) = \exp(-\pi f^2)$

x_{2} (t) = (1 - | t |) 1_{[- 1, 1]}, X_{2} (f) = {sinc}^{2} (f) = {\begin{cases} {(\frac{\sin (π f)}{π f})}^{2}, & f \neq 0, \\ 1, & f = 0. \end{cases}

$x_2(t) = (1 - |t|)\mathbf 1_{[-1,1]}, ~~ X_2(f) = \operatorname{sinc}^2(f) = \begin{cases}\displaystyle \left(\frac{\sin(\pi f)}{\pi f}\right)^2,&f\neq 0,\\ 1,&f=0.\end{cases}$

Bây giờ lưu ý rằng là mật độ hỗn hợp có biến đổi Fourier là có cùng mật độ hỗn hợp. $\frac{1}{2} x_2(t) + \frac{1}{2}X_2(t)$ $\frac{1}{2} X_2(f) + \frac{1}{2}x_2(f)$

Do đó, nếu là hàm mật độ có biến đổi Fourier là hàm mật độ, thì hàm mật độ hỗn hợp là biến đổi Fourier của riêng nó. $x(t)$ $X(f)$ $\frac{1}{2} x(t) + \frac{1}{2}X(t)$

Cuối cùng, với hai mật độ là biến đổi Fourier của riêng chúng, ví dụ và , bất kỳ mật độ hỗn hợp nào trong đó là một hàm mật độ là biến đổi Fourier của chính nó. $x_1(t)$ $\frac{1}{2} x_2(t) + \frac{1}{2}X_2(t)$

α x_{1} (t) + (1 - α) [\frac{1}{2} x_{2} (t) + \frac{1}{2} X_{2} (t)]

$\alpha x_1(t) + (1-\alpha)\left[\frac{1}{2} x_2(t) + \frac{1}{2}X_2(t)\right]$

α \in [0, 1]

$\alpha \in [0,1]$

— Dilip Sarwate
nguồn

(+1) Điều này khá thông minh. Cần lưu ý rằng để đảm bảo một cặp biến đổi hợp lệ, chúng ta cần một điều kiện tích phân trên . Cụ thể, sẽ đảm bảo rằng phép đảo ngược đã nêu sẽ phục hồi mật độ thích hợp. Trong một ý nghĩa bạn sử dụng một điều kiện như vậy sau này. (Tôi đã giả định các hạn chế không âm trên đã được áp đặt, vì vậy nó không cần mô đun.)

X (f)

$X(f)$

\int_{- \infty}^{\infty} X (f) d f < \infty

$\int_{-\infty}^\infty X(f) \,\mathrm{d}f < \infty$

X (f)

$X(f)$

— Đức Hồng Y