Tích của hai biến ngẫu nhiên logic

Để cho $X_1$ và $X_2$là hai biến ngẫu nhiên bình thường. Viết$X_1\sim N(\mu_1, \sigma^2_1)$ và $X_2\sim N(\mu_2, \sigma^2_2)$, để sửa ý tưởng.

Xem xét các biến ngẫu nhiên log-normal tương ứng: $Z_1 = \exp(X_1)$, $Z_2 = \exp(X_2)$.

Câu hỏi: phân phối sản phẩm của hai biến ngẫu nhiên là gì, nghĩa là phân phối của $Z_1Z_2$?

Nếu các biến ngẫu nhiên bình thường $X_1, X_2$ là độc lập hoặc chúng có phân phối chuẩn bivariate, câu trả lời rất đơn giản: chúng tôi có $Z_1Z_2 = \exp(X_1+X_2)$ với tổng $X_1+X_2$ bình thường, do đó sản phẩm $Z_1Z_2$ vẫn còn bất thường.

Nhưng giả sử rằng $X_1, X_2$ nói chung $not$ độc lập, nói với tương quan $\rho$. Chúng ta có thể nói gì về việc phân phối$Z_1Z_2$?

Sử dụng Dilips trả lời ở đây , nếu$X$ và $Y$ là hai biến thể bình thường và $X \sim N(\mu_1, \sigma_1^2)$ và $Y \sim N(\mu_2, \sigma_2^2)$ và mối tương quan giữa $X$ và $Y$ Là $\rho$. Sau đó

Như vậy $Z_1Z_2$ cũng sẽ là một phân phối hợp lý với các tham số $\mu_1 + \mu_2$ và $\sigma^2_1 + \sigma^2_2 + 2\rho\sigma_1 \sigma_2$.