Giúp tôi hiểu chức năng định lượng (CDF nghịch đảo)

Tôi đang đọc về hàm lượng tử, nhưng nó không rõ ràng với tôi. Bạn có thể cung cấp một lời giải thích trực quan hơn so với giải thích dưới đây?

Vì cdf là một hàm tăng đơn điệu, nên nó có nghịch đảo; hãy để chúng tôi biểu thị điều này bởi . Nếu là cdf của , thì là giá trị của sao cho ; này được gọi là quantile của . Giá trị là trung vị của phân phối, với một nửa khối lượng xác suất ở bên trái và một nửa ở bên phải. Các giá trị và là các tứ phân vị thấp hơn và cao hơn. $F$ $F^{−1}$ $F$ $X$ $F^{−1}(\alpha)$ $x_\alpha$ $P(X \le x_\alpha) = \alpha$ $\alpha$ $F$ $F^{−1}(0.5)$ $F^{−1}(0.25)$ $F^{−1}(0.75)$

— Ấn độ
nguồn

Bạn nên học cách sử dụng đánh dấu toán học, xem các chỉnh sửa của tôi!

— kjetil b halvorsen

Đây là một mô hình giải thích ngắn gọn ở một mức độ nhất định và đã có một ví dụ. Không rõ mức độ giải thích mà bạn tìm kiếm. Một câu trả lời có thể dài hơn 10 lần so với điều này tùy thuộc vào những gì bạn không biết. Ví dụ, bạn có biết một cdf là? Bạn có biết "tăng đơn điệu" nghĩa là gì không? Bạn có biết hàm nghịch đảo là gì không? Chúng tôi chỉ là một phần của câu đầu tiên. Câu hỏi của bạn tương đương với một câu mà bạn không hiểu (tất cả) điều này và mặc dù chúng tôi không có lý do để nghi ngờ bạn, đó hoàn toàn không phải là một câu hỏi chính xác.

— Nick Cox

Tất cả điều này thoạt nghe có vẻ phức tạp, nhưng về cơ bản là về một thứ gì đó rất đơn giản.

Bằng hàm phân phối tích lũy, chúng tôi biểu thị hàm trả về xác suất của nhỏ hơn hoặc bằng một số giá trị , $X$ $x$

Pr (X \leq x) = = F (x) .

$\Pr(X \le x) = F(x).$

Hàm này lấy làm đầu vào $x$ và trả về các giá trị từ khoảng $[0, 1]$ (xác suất) củaletlet biểu thị chúng là $p$ . Các nghịch đảo của hàm phân phối tích lũy (hoặc chức năng quantile) sẽ cho bạn biết những gì $x$ sẽ làm cho $F(x)$ trở lại một số giá trị $p$ ,

F^{- 1} (p) = = x .

$F^{-1}(p) = x.$

Điều này được minh họa trong sơ đồ bên dưới sử dụng hàm phân phối tích lũy bình thường (và nghịch đảo của nó) làm ví dụ.

Thí dụ

Một ví dụ đơn giản, bạn có thể lấy một bản phân phối Gumbel tiêu chuẩn . Hàm phân phối tích lũy của nó là

F (x) = = e^{- e^{- x}}

$F(x) = e^{-e^{-x}}$

và nó có thể dễ dàng đảo ngược: nhớ lại hàm logarit tự nhiên là hàm nghịch đảo của hàm số mũ , vì vậy rõ ràng là hàm lượng tử cho phân phối Gumbel là

F^{- 1} (p) = = - \ln (- \ln (p))

$F^{-1}(p) = -\ln(-\ln(p))$

Như bạn có thể thấy, hàm lượng tử, theo tên thay thế của nó, "đảo ngược" hành vi của hàm phân phối tích lũy.

Hàm phân phối nghịch đảo tổng quát

Không phải mọi chức năng đều có nghịch đảo. Đó là lý do tại sao trích dẫn mà bạn đề cập đến nói "chức năng tăng đơn điệu". Hãy nhớ lại rằng từ định nghĩa của hàm , nó phải gán cho mỗi giá trị đầu vào chính xác một đầu ra. Các hàm phân phối tích lũy cho các biến ngẫu nhiên liên tục thỏa mãn tính chất này vì chúng đang tăng đơn điệu. Đối với các biến phân phối tích lũy biến ngẫu nhiên không liên tục và tăng, vì vậy chúng tôi sử dụng các hàm phân phối nghịch đảo tổng quát cần không giảm. Chính thức hơn, hàm phân phối nghịch đảo tổng quát được định nghĩa là

F^{- 1} (p) = = thông tin {x \in R : F (x) \geq p} .

$F^{-1}(p) = \inf \big\{x \in \mathbb{R}: F(x) \ge p \big\}.$

Định nghĩa, được dịch sang tiếng Anh đơn giản, nói rằng với giá trị xác suất , chúng tôi đang tìm kiếm một số , kết quả là giá trị trả về lớn hơn hoặc bằng , nhưng vì có thể có nhiều giá trị của đáp ứng điều này điều kiện (ví dụ là đúng với mọi ), vì vậy chúng tôi lấy nhỏ nhất trong số đó. $p$ $x$ $F(x)$ $p$ $x$ $F(x) \ge 0$ $x$ $x$

Chức năng không có nghịch đảo

Nói chung, không có nghịch đảo cho các hàm có thể trả về cùng một giá trị cho các đầu vào khác nhau, ví dụ các hàm mật độ (ví dụ: hàm mật độ chuẩn thông thường là đối xứng, do đó, nó trả về cùng một giá trị cho và v.v.). Phân phối bình thường là một ví dụ thú vị vì một lý do nữa, đó là một trong những ví dụ về các hàm phân phối tích lũy không có dạng nghịch đảo dạng đóng . Không phải mọi hàm phân phối tích lũy đều phải có dạng nghịch đảo đóng! Hy vọng trong những trường hợp như vậy, các nghịch đảo có thể được tìm thấy bằng các phương pháp số. $-2$ $2$

Ca sử dụng

Hàm lượng tử có thể được sử dụng để tạo ngẫu nhiên như được mô tả trong Phương thức biến đổi nghịch đảo hoạt động như thế nào?

— Tim
nguồn

Câu trả lời này hoạt động tốt cho đến đoạn áp chót. Vào thời điểm bạn đến đó, bạn đã khẳng định rằng mọi CDF liên tục đều có nghịch đảo nhưng sau đó bạn dường như đã đưa ra phân phối Bình thường như một ví dụ cho chính tuyên bố đó. Điều đó có khả năng rất khó hiểu.

— whuber

@whuber bạn nói đúng, thêm một câu để làm cho rõ hơn.

— Tim

Tim, và tôi đã thêm một từ nữa để làm cho nó rõ ràng hơn :)

— amip nói rằng Rebstate Monica

@Tim câu trả lời tuyệt vời nhưng bạn có thể làm sáng tỏ định nghĩa của cdf nghịch đảo ? Như bạn đã đề cập, chúng tôi hỏi sẽ làm gì . Tôi hiểu phần như sau. Vì cdf là đơn điệu tăng nên có nhiều giá trị thỏa mãn nhưng sẽ đưa ra giới hạn thấp nhất lớn nhất, tức là sửa một điểm duy nhất và bằng cách xác định nghịch đảo tổng quát. Điều này có nghĩa không ?

F^{- 1} (u) = inf {x : F (x) \geq u}

$F^{-1}(u)=\inf\{x:F(x) \ge u\}$

x

$x$

F (x) = p

$F(x)=p$

inf

$\inf$

F (x) \geq u

$F(x) \ge u$

inf

$\inf$

— Alexander Cska

@AlexanderCska Có, về cơ bản, nhiều giá trị F (x) lớn hơn u, vì vậy chúng tôi lấy giới hạn dưới, "giá trị nhỏ nhất đáp ứng điều kiện này".

— Tim

Tim đã có một câu trả lời rất kỹ lưỡng. Làm tốt lắm!

Tôi muốn thêm một nhận xét. Không phải mọi hàm tăng đơn điệu đều có hàm nghịch đảo. Trên thực tế chỉ có các hàm tăng / giảm đơn điệu hoàn toàn có chức năng nghịch đảo.

Đối với cdf tăng đơn điệu mà không hoàn toàn tăng đơn điệu, chúng ta có hàm lượng tử còn được gọi là hàm phân phối tích lũy nghịch đảo. Bạn có thể tìm thêm chi tiết ở đây .

Cả hai hàm nghịch đảo (đối với các hàm tăng nghiêm ngặt cdf) và các hàm lượng tử (đối với các hàm tăng đơn điệu nhưng không nghiêm trọng tăng đơn điệu) có thể được ký hiệu là , đôi khi có thể gây nhầm lẫn. $F^{-1}$

— Tingguang Li
nguồn