Công cụ ước lượng không thiên vị của tham số poisson

9

Số vụ tai nạn mỗi ngày là biến ngẫu nhiên Poisson với tham số , trong 10 ngày được chọn ngẫu nhiên, số vụ tai nạn được quan sát là 1,0,1,1,2,0,2,0,0,1, điều gì sẽ xảy ra là một công cụ ước tính không thiên vị của ? $\lambda$ $e^{\lambda}$

Tôi đã cố gắng theo cách này: Chúng tôi biết rằng , nhưng . Sau đó, những gì sẽ được ước tính không thiên vị? $E(\bar{x})=\lambda=0.8$ $E(e^{\bar{x}})\neq\ e^{\lambda}$

self-study estimation poisson-distribution

— tiên tri
nguồn

9

Nếu , thì, với . Thật khó để tính toán $X\sim \text{Pois}(\lambda)$ $P(X = k) = \lambda^ke^{-\lambda}/k!$ $k\geq 0$

E [X^{n}] = \sum_{k \geq 0} k^{n} P (X = k),

$E[X^n] = \sum_{k\geq 0} k^n P(X = k)\text{,}$ nhưng dễ dàng hơn nhiều để tính , trong đó : Bạn có thể chứng minh điều này bởi chính bạn - nó là một bài tập dễ dàng. Ngoài ra, tôi sẽ cho phép bạn tự chứng minh những điều sau: Nếu là iid dưới dạng , thì , do đó Đặt . Nó theo đó

E [X^{\underline{n}}]

$E[X^{\underline{n}}]$

X^{\underline{n}} = X (X - 1) \dots (X - n + 1)

$X^{\underline{n}} = X(X - 1)\cdots (X - n + 1)$

E [X^{\underline{n}}] = λ^{n} .

$E[X^\underline{n}]=\lambda^n\text{.}$

X_{1}, \dots, X_{N}

$X_1,\cdots, X_N$

Pois (λ)

$\text{Pois}(\lambda)$

U = \sum_{i} X_{i} \sim Pois (N λ)

$U = \sum_i X_i\sim \text{Pois}(N\lambda)$

E [U^{\underline{n}}] = (N λ)^{n} = N^{n} λ^{n} and E [U^{\underline{n}} / N^{n}] = λ^{n} .

$E[U^{\underline{n}}] = (N\lambda)^n = N^n \lambda^n\quad\text{and}\quad E[U^\underline{n}/N^n] = \lambda^n\text{.}$

Z_{n} = U^{\underline{n}} / N^{n}

$Z_n = U^{\underline{n}}/N^n$

$Z_n$ là các hàm số đo của bạn , , $X_1$ $\dots$ $X_N$
$E[Z_n] = \lambda^n$ ,

Vì, chúng ta có thể suy luận rằng $e^\lambda = \sum_{n\geq 0}\lambda^n /n!$

E [\sum_{n \geq 0} \frac{Z_{n}}{n!}] = \sum_{n \geq 0} \frac{λ^{n}}{n!} = e^{λ},

$E\left[\sum_{n\geq 0}\frac{Z_n}{n!}\right] =\sum_{n\geq 0} \frac{\lambda^n}{n!} = e^\lambda\text{,}$ do đó, công cụ ước tính không thiên vị của bạn là, tức là, . Tuy nhiên, để tính toán , người ta phải đánh giá một khoản tiền mà dường như là vô hạn, nhưng lưu ý rằng , do đó cho . Theo sau với , do đó tổng là hữu hạn.

W = \sum_{n \geq 0} Z_{n} / n!

$W = \sum_{n\geq 0} Z_n/n!$

E [W] = e^{λ}

$E[W] = e^\lambda$

W

$W$

U \in N_{0}

$U\in \mathbb{N}_0$

U^{\underline{n}} = 0

$U^\underline{n} = 0$

n > U

$n>U$

Z_{n} = 0

$Z_n = 0$

n > U

$n>U$

Chúng ta có thể thấy rằng bằng cách sử dụng phương pháp này, bạn có thể tìm thấy công cụ ước tính không thiên vị cho bất kỳ chức năng nào của có thể được biểu thị dưới dạng . $\lambda$ $f(\lambda) = \sum_{n\geq 0}a_n\lambda^n$

— Antoine
nguồn

3

Theo sau . Chúng tôi muốn ước tính . Như bạn nói, một công cụ ước tính có thể sẽ là Sử dụng hàm tạo mô men của , chúng ta thấy rằng nên bị sai lệch. Một số phỏng đoán cho thấy $Y=\sum_{i=1}^{10} X_i \sim \text{Pois}(10\lambda)$ $\theta=e^\lambda$

\hat{θ} = e^{\bar{X}} = e^{Y / 10} .

$\begin{equation} \hat\theta = e^{\bar X} = e^{Y/10}. \end{equation}$

Y

$Y$

M_{Y} (t) = e^{10 λ (e^{t} - 1)},

$\begin{equation} M_Y(t)=e^{10\lambda(e^t - 1)}, \end{equation}$

E (\hat{θ}) = E (e^{\frac{1}{10} Y}) = M_{Y} (\frac{1}{10}) = e^{10 λ (e^{1 / 10} - 1)} = θ^{10 (e^{1 / 10} - 1)},

$\begin{equation} E(\hat\theta) = E(e^{\frac1{10}Y}) = M_Y(\frac1{10}) = e^{10\lambda(e^{1/10} - 1)} = \theta^{10(e^{1/10}-1)}, \end{equation}$

\hat{θ}

$\hat\theta$

θ^{*} = e^{a Y},

$\begin{equation} \theta^* = e^{aY}, \end{equation}$ có thể không thiên vị cho sự lựa chọn phù hợp của hệ số hiệu chỉnh . Một lần nữa, bằng cách sử dụng mgf của chúng ta thấy rằng vì vậy điều này không thiên vị nếu dẫn đến và là một công cụ ước tính không thiên vị của .

a

$a$

Y

$Y$

E (θ^{*}) = e^{10 λ (e^{a} - 1)} = θ^{10 (e^{a} - 1)},

$\begin{equation} E(\theta^*) = e^{10\lambda(e^a - 1)} = \theta^{10(e^a-1)}, \end{equation}$

10 (e^{a} - 1) = 1

$10(e^a - 1) = 1$

a = \ln \frac{11}{10}

$a=\ln\frac{11}{10}$

θ^{*} = (\frac{11}{10})^{Y}

$\theta^* = (\frac{11}{10})^Y$

θ = e^{λ}

$\theta=e^\lambda$

Theo định lý Lehmann-Scheffé , vì là một số liệu thống kê đầy đủ cho , công cụ ước tính (một hàm của ) là UMVUE cho . $Y$ $\lambda$ $\theta^*$ $Y$ $e^\lambda$

— Tuleo
nguồn