Điều kiện ngoại sinh nghiêm ngặt của OLS thực sự có nghĩa là gì?

Trong Kinh tế lượng của Hayashi, người ta đã nói rằng một trong những giả định của OLS cổ điển là: Và tôi biết rằng hàm ý đó là cho tất cả và thuật ngữ lỗi không tương thích với các biến hồi quy.

\begin{matrix} (1) & E (ϵ_{i} | x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) = 0, for i = 1, \dots, n . \end{matrix}

$\mathbb{E}(\epsilon_i\lvert\mathbf{x_1}, \mathbf{x_2}, \ldots, \mathbf{x_n}) = 0 \text{, for } i=1, \ldots, n. \tag{1}$

E (ϵ_{i}) = 0

$\mathbb{E}(\epsilon_i) = 0$

i = 1, \dots, n

$i = 1, \ldots,n$

Nhưng, phương trình (1) trong bản thân nó thực sự có ý nghĩa gì? Một ví dụ sư phạm sẽ hữu ích.

regression econometrics least-squares

— hans-t
nguồn

Trong tiếng Anh, nó có nghĩa là có điều kiện quan sát dữ liệu, kỳ vọng của thuật ngữ lỗi là bằng không.

Làm thế nào điều này có thể bị vi phạm?

Ví dụ: biến bị bỏ qua tương quan với $x$

Hãy tưởng tượng mô hình thực sự là:

y_{i} = α + β x_{i} + γ z_{i} + u_{i}

$y_i = \alpha + \beta x_i + \gamma z_i + u_i$

Nhưng thay vào đó hãy tưởng tượng chúng ta đang chạy hồi quy:

y_{i} = α + β x_{i} + \underset{γ z_{i} + u_{i}}{\underset{⏟}{ϵ_{i}}}

$y_i = \alpha + \beta x_i + \underbrace{\epsilon_i}_{\gamma z_i + u_i}$

Sau đó:

\begin{aligned} E [ϵ_{i} ∣ x_{i}] & = E [γ z_{i} + u_{i} ∣ x_{i}] \\ = γ E [z_{i} ∣ x_{i}] assuming u_{i} is white noise \end{aligned}

$\begin{align*} E[\epsilon_i \mid x_i ] &= E[\gamma z_i + u_i \mid x_i] \\ &=\gamma E[ z_i\mid x_i] \quad \text{ assuming $u_i$ is white noise} \end{align*}$

Nếu và , thì và ngoại lệ nghiêm ngặt bị vi phạm. $E[z_i \mid x_i] \neq 0$ $\gamma \neq 0$ $E[\epsilon_i \mid x_i] \neq 0$

Ví dụ, hãy tưởng tượng là tiền lương, là một chỉ số cho bằng đại học và là một số đo lường khả năng. Nếu tiền lương là một chức năng của cả giáo dục và khả năng (quy trình tạo dữ liệu thực sự là phương trình đầu tiên) và sinh viên tốt nghiệp đại học dự kiến sẽ có khả năng cao hơn ( ) vì đại học có xu hướng thu hút và thừa nhận sinh viên có khả năng cao hơn, sau đó nếu một người thực hiện một hồi quy đơn giản về tiền lương cho giáo dục, giả định nghiêm ngặt ngoại sinh sẽ bị vi phạm. Chúng tôi có một biến gây nhiễu cổ điển . Khả năng gây ra giáo dục, và khả năng ảnh hưởng đến tiền lương, do đó kỳ vọng của chúng tôi về sai số trong phương trình (2) giáo dục không phải là không. $y$ $x$ $z$ $E[z_i \mid x_i] \neq 0]$

Điều gì sẽ xảy ra nếu chúng ta chạy hồi quy? Bạn sẽ chọn cả hiệu ứng giáo dục và hiệu ứng khả năng trong hệ số giáo dục. Trong ví dụ tuyến tính đơn giản này, hệ số ước tính sẽ nhận được hiệu ứng của trên cộng với liên kết của và lần so với hiệu ứng của trên . $b$ $x$ $y$ $x$ $z$ $z$ $y$

— Matthew Gunn
nguồn

Xin chào Matthew, tôi nghĩ trong đoạn thứ hai đến cuối cùng "những người có khả năng cao hơn có được bằng đại học" nên được thay thế bằng một cái gì đó dọc theo dòng chữ "sinh viên tốt nghiệp đại học dự kiến sẽ là những người có khả năng hơn", như chúng ta xem xét chứ không phải .

E (z_{i} | x_{i})

$E(z_i|x_i)$

E (x_{i} | z_{i})

$E(x_i|z_i)$

— Mitch Baker

@MitchBaker Cảm ơn bạn đã bình luận. Thật vậy, có vấn đề trực tiếp nhất. Tôi đã cố gắng làm rõ một chút.

E [z | x]

$E[z|x]$

— Matthew Gunn

Điều kiện ngoại sinh nghiêm ngặt của OLS thực sự có nghĩa là gì?

Ví dụ: biến bị bỏ qua tương quan vớixxx

Ví dụ: biến bị bỏ qua tương quan với $x$