Viết phương trình toán học cho mô hình hiệu ứng hỗn hợp đa cấp

Câu hỏi CV

Tôi đang cố gắng đưa ra (a) các biểu diễn toán học chi tiết và ngắn gọn của một mô hình hiệu ứng hỗn hợp. Tôi đang sử dụng lme4gói trong R. Biểu diễn toán học chính xác cho mô hình của tôi là gì?

Dữ liệu, câu hỏi khoa học và mã R

Tập dữ liệu của tôi bao gồm các loài ở các khu vực khác nhau. Tôi đang thử nghiệm nếu sự phổ biến của một loài thay đổi theo thời gian dẫn đến sự tuyệt chủng (sự tuyệt chủng không nhất thiết là vĩnh viễn; nó có thể tái tổ hợp) hoặc sau khi thực dân hóa.

lmer(prevalence ~ time + time:type + (1 + time + type:time | reg) + (1 + time + type:time | reg:spp))

Tỷ lệ là tỷ lệ tầng lớp chiếm đóng của một loài trong một năm
Thời gian là một biến liên tục chỉ ra thời gian để tuyệt chủng hoặc thuộc địa; nó luôn luôn tích cực
Loại là một biến phân loại với hai cấp độ. Hai cấp độ này là những người khác nhau Khi kiểu là -, đó là thuộc địa (mức mặc định). Khi loại là +, đó là một sự tuyệt chủng.
Reg là một biến phân loại với chín cấp độ, cho biết khu vực
Spp là một biến phân loại; số lượng cấp độ khác nhau giữa các vùng và khác nhau giữa 48 cấp độ và 144 cấp độ.

Trong các từ: biến phản ứng là tỷ lệ phổ biến (tỷ lệ chiếm tầng). Các hiệu ứng cố định bao gồm 1) và chặn, 2) thời gian từ sự kiện và 3) sự tương tác giữa thời gian với sự kiện và loại sự kiện (thuộc địa hoặc tuyệt chủng). Mỗi trong số 3 hiệu ứng cố định này thay đổi ngẫu nhiên giữa các vùng. Trong một khu vực, mỗi hiệu ứng thay đổi ngẫu nhiên giữa các loài.

Tôi đang cố gắng tìm ra cách viết phương trình toán học cho mô hình. Tôi nghĩ rằng tôi hiểu những gì đang diễn ra trong mã R (mặc dù, tôi chắc chắn rằng tôi có một số lỗ hổng kiến thức và hy vọng viết ra biểu thức toán học chính thức sẽ cải thiện sự hiểu biết của tôi).

Tôi đã tìm kiếm thông qua các trang web và thông qua các diễn đàn này một chút. Tôi chắc chắn đã tìm thấy rất nhiều thông tin hữu ích (và có lẽ tôi sẽ liên kết với một số thông tin này để chỉnh sửa câu hỏi này). Tuy nhiên, tôi hoàn toàn không thể thấy rằng "Rosetta Stone" của mã R được dịch sang toán học (tôi cảm thấy thoải mái hơn với mã) sẽ thực sự giúp tôi xác nhận rằng tôi đã hiểu đúng các phương trình này. Trên thực tế, tôi biết đã có một số lỗ hổng, nhưng chúng ta sẽ đến đó.

Nỗ lực của tôi

Các hình thức cơ bản của một mô hình hiệu ứng hỗn hợp, trong ma trận ký hiệu là (sự hiểu biết của tôi):

Y = X β + Z γ + ϵ

$Y = X \beta + Z \gamma + \epsilon$

X = [\begin{matrix} 1 & Δ t & Δ t_{+} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 1 & Δ t_{n} & Δ t_{+, n} \end{matrix}]

$X = \begin{bmatrix} 1 & \Delta t & \Delta t_{+} \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ 1 & \Delta t_n & \Delta t_{+,n} \end{bmatrix}$

β^{^{'}} = [\begin{matrix} β_{0} & β_{1} & β_{2} \end{matrix}]

$\beta^{'} = \begin{bmatrix} \beta_0 & \beta_1 & \beta_2 \end{bmatrix}$

Z = [\begin{matrix} 1 I (r_{1}) & Δ t I (r_{1}) & Δ t_{+} I (r_{1}) & \dots & 1 I (r_{9}) & Δ t I (r_{9}) & Δ t_{+} I (r_{9}) \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 1 I (r_{1, n}) & Δ t_{n} I (r_{1, n}) & Δ t_{+, n} I (r_{1, n}) & \dots & 1 I (r_{9, n}) & Δ t I (r_{9, n}) & Δ t_{+, n} I (r_{9, n}) \end{matrix}]

$Z = \begin{bmatrix} 1 I(r_1) & \Delta t I(r_1) & \Delta t_{+} I(r_1) & \dots & 1 I(r_9) & \Delta t I(r_9) & \Delta t_{+} I(r_9) \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 1 I(r_{1,n}) & \Delta t_n I(r_{1,n}) & \Delta t_{+,n} I(r_{1,n}) & \dots & 1 I(r_{9,n}) & \Delta t I(r_{9,n}) & \Delta t_{+,n} I(r_{9,n}) \\ \end{bmatrix}$

γ^{^{'}} = [\begin{matrix} γ_{0, 1} & γ_{1, 1} & γ_{2, 1} & \dots & γ_{0, 9} & γ_{1, 9} & γ_{2, 9} \end{matrix}]

$\gamma^{'} = \begin{bmatrix} \gamma_{0,1} & \gamma_{1,1} &\gamma_{2,1} & \dots & \gamma_{0,9} & \gamma_{1,9} &\gamma_{2,9} \end{bmatrix}$

ϵ \sim N (0, Σ)

$\epsilon \sim \mathcal{N}(0,\Sigma)$

$X$ $\Delta t$ time $\Delta t_{+}$ time:type
$Z$
$\beta$ $\gamma$
$\epsilon$ $\Sigma$

Giả sử mọi thứ cho đến nay là ~ chính xác, điều đó có nghĩa là tôi giỏi ở cấp cao nhất. Tuy nhiên, việc giải thích sự thay đổi của từng loài cụ thể đối với các tham số, được lồng trong từng khu vực, làm tôi bối rối hơn nữa.

Nhưng tôi đã có một vết nứt tại một cái gì đó có thể có ý nghĩa ...

$\gamma$ $\gamma$

- $U_{p,r}$ $r$ $p$ $b_{p,r}$ $S$ $\eta_{p,r}$

$\gamma_{p,r}$

γ_{0, r} = U_{0, r} b_{0, r} + η_{0, r}

$\gamma_{0,r} = U_{0,r} b_{0,r} + \eta_{0,r}$

γ_{0, r} = [\begin{matrix} 1 I (s_{1}) \dots 1 I (s_{S}) \end{matrix}] + [\begin{matrix} b_{0, 1} \\ ⋮ \\ b_{0, S} \end{matrix}] + η_{0, r}

$\gamma_{0,r} = \begin{bmatrix} 1 I(s_1) \dots 1 I(s_S) \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} b_{0,1}\\ \vdots \\ b_{0,S} \end{bmatrix} + \eta_{0,r}$

γ_{1, r} = U_{1, r} b_{1, r} + η_{1, r}

$\gamma_{1,r} = U_{1,r} b_{1,r} + \eta_{1,r}$

γ_{1, r} = [\begin{matrix} Δ t I (s_{1}) \dots Δ t I (s_{S}) \end{matrix}] + [\begin{matrix} b_{1, 1} \\ ⋮ \\ b_{1, S} \end{matrix}] + η_{1, r}

$\gamma_{1,r} = \begin{bmatrix} \Delta t I(s_1) \dots \Delta t I(s_S) \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} b_{1,1}\\ \vdots \\ b_{1,S} \end{bmatrix} + \eta_{1,r}$

γ_{2, r} = U_{2, r} b_{2, r} + η_{2, r}

$\gamma_{2,r} = U_{2,r} b_{2,r} + \eta_{2,r}$

γ_{2, r} = [\begin{matrix} Δ t_{+} I (s_{1}) \dots Δ t_{+} I (s_{S}) \end{matrix}] + [\begin{matrix} b_{2, 1} \\ ⋮ \\ b_{2, S} \end{matrix}] + η_{2, r}

$\gamma_{2,r} = \begin{bmatrix} \Delta t_+ I(s_1) \dots \Delta t_+ I(s_S) \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} b_{2,1}\\ \vdots \\ b_{2,S} \end{bmatrix} + \eta_{2,r}$

$\eta \sim \mathcal{N}(0,\Sigma_{\eta})$ $\epsilon$ $\Sigma$ $G$ , thường được sử dụng.

Chỉnh sửa: các Q / A khác có phần hữu ích

Câu hỏi này rất hay, nhưng không viết ra ở dạng ma trận đầy đủ

r mixed-model multilevel-analysis lme4-nlme

— rbatt
nguồn

Tôi nghi ngờ rằng bài báo này có "câu trả lời" cho câu hỏi của bạn nhưng nó đã phục vụ tốt cho tôi như là một mồi cho phương trình mô hình HMM. Quên rằng nó bắt nguồn từ SAS, nó chỉ là một tổng quan tuyệt vời về lớp mô hình này. Judith Singer, Sử dụng SAS Proc Hỗn hợp để Phù hợp với Mô hình đa cấp, Mô hình phân cấp và Mô hình tăng trưởng cá nhân, JEBS , Winter 1998, vol. 24, số 4, trang 323-355.

— Mike Hunter

Có bạn đọc mục 2.3 ở đây ?

— Robert Long

Tôi đã đọc chúng, và các tài nguyên như thế đã đưa tôi đến nay. Có thể là tôi chỉ cần tiếp tục cố gắng, nhưng tôi không thể tìm thấy bất kỳ ví dụ nào đủ phức tạp để giúp tôi có đủ tự tin trong cách tiếp cận hiện tại của mình.

— rbatt

Theo như tôi hiểu, "lồng" chỉ là sự tương tác trong các mô hình lmer. Khái niệm này được củng cố bằng cách sử dụng cùng một cú pháp. Vì vậy, tôi tin rằng reg: spp có thể được xử lý bởi một biến phân loại duy nhất và chỉ một tập hợp khối khác trong Z.

— deasmhumnha

Tôi cũng sẽ giả định rằng lmer sẽ tránh được colinearity hoàn hảo và chỉ bao gồm các tương tác không dư thừa trong biến bổ sung.

— deasmhumnha

Nếu tôi hiểu mã chính xác, tại sao không chỉ đơn giản là viết một cái gì đó như

y_{Tôi} = = (α + ν_{j [Tôi]}^{(α)} + η_{k [Tôi]}^{(α)}) + (β + ν_{j [Tôi]}^{(β)} + η_{k [Tôi]}^{(β)}) T_{Tôi} + (δ + ν_{j [Tôi]}^{(δ)} + η_{k [Tôi]}^{(δ)}) (T_{Tôi} * Z_{Tôi}) + ε_{Tôi}

$y_{i} = \Big(\alpha + \nu_{j[i]}^{(\alpha)} + \eta_{k[i]}^{(\alpha)}\Big) + \Big(\beta + \nu_{j[i]}^{(\beta)} + \eta_{k[i]}^{(\beta)}\Big)T_{i} + \Big(\delta + \nu_{j[i]}^{(\delta)} + \eta_{k[i]}^{(\delta)}\Big)(T_{i} * Z_{i}) + \epsilon_i$ với

\begin{aligned} [ν_{j}^{(α)}, ν_{j}^{(β)}, ν_{j}^{(δ)}] & ~ Đa bình thường (0, Σ_{ν}) \\ [η_{j}^{(α)}, η_{j}^{(β)}, η_{j}^{(δ)}] & ~ Đa bình thường (0, Σ_{η}) \\ ε_{Tôi} & ~ Bình thường (0, σ_{ε}) \end{aligned}

$\begin{aligned} \Big[\nu_{j}^{(\alpha)}, \nu_j^{(\beta)}, \nu_j^{(\delta)}\Big] &\sim \text{Multi-Normal}(\mathbf 0, \boldsymbol \Sigma_\nu) \\ \Big[\eta_{j}^{(\alpha)}, \eta_j^{(\beta)}, \eta_j^{(\delta)}\Big] &\sim \text{Multi-Normal}(\mathbf 0, \boldsymbol \Sigma_\eta)\\ \epsilon_i & \sim \text{Normal}(0, \sigma_\epsilon) \end{aligned}$ hoặc, nếu phương trình đầu tiên quá dài, đại loại như

y_{i} = α_{j [i], k [i]} + β_{j [i], k [i]} T_{i} + δ_{j [i], k [i]} (T_{i} * Z_{i}) + ϵ_{i}

$y_{i} = \alpha_{j[i],k[i]} + \beta_{j[i],k[i]}T_{i} + \delta_{j[i],k[i]}(T_i * Z_i) + \epsilon_i$ and

\begin{aligned} α_{j [i], k [i]} & = α + ν_{j}^{(α)} + η_{k}^{(α)} \\ β_{j [i], k [i]} & = β + ν_{j}^{(β)} + η_{k}^{(β)} \\ δ_{j [i], k [i]} & = δ + ν_{j}^{(δ)} + η_{k}^{(δ)} \end{aligned}

$\begin{aligned} \alpha_{j[i],k[i]} &= \alpha + \nu_{j}^{(\alpha)} + \eta_{k}^{(\alpha)} \\ \beta_{j[i],k[i]}&=\beta + \nu_{j}^{(\beta)} + \eta_{k}^{(\beta)}\\ \delta_{j[i],k[i]}&=\delta + \nu_{j}^{(\delta)} + \eta_{k}^{(\delta)}\\ \end{aligned}$ with the same covariance structure as above? It shows the nested structure of the data as well as which coefficients vary across which levels.

— baruuum
nguồn