Do lỗi tiêu chuẩn của hồi quy tuyến tính thường được đưa ra cho biến phản hồi, tôi tự hỏi làm thế nào để có được khoảng tin cậy theo hướng khác - ví dụ: đối với chặn x. Tôi có thể hình dung nó có thể là gì, nhưng tôi chắc chắn phải có một cách đơn giản để làm điều này. Dưới đây là một ví dụ trong R về cách hình dung điều này:

set.seed(1)
x <- 1:10
a <- 20
b <- -2
y <- a + b*x + rnorm(length(x), mean=0, sd=1)

fit <- lm(y ~ x)
XINT <- -coef(fit)[1]/coef(fit)[2]

plot(y ~ x, xlim=c(0, XINT*1.1), ylim=c(-2,max(y)))
abline(h=0, lty=2, col=8); abline(fit, col=2)
points(XINT, 0, col=4, pch=4)
newdat <- data.frame(x=seq(-2,12,len=1000))

# CI
pred <- predict(fit, newdata=newdat, se.fit = TRUE) 
newdat$yplus <-pred$fit + 1.96*pred$se.fit 
newdat$yminus <-pred$fit - 1.96*pred$se.fit 
lines(yplus ~ x, newdat, col=2, lty=2)
lines(yminus ~ x, newdat, col=2, lty=2)

# approximate CI of XINT
lwr <- newdat$x[which.min((newdat$yminus-0)^2)]
upr <- newdat$x[which.min((newdat$yplus-0)^2)]
abline(v=c(lwr, upr), lty=3, col=4)

Làm thế nào để tính khoảng tin cậy của chặn x trong hồi quy tuyến tính?

Asumptions

• $y_i = \alpha + \beta x_i + \varepsilon_i$
• $\epsilon | X \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2 I_n)$
• Phù hợp với sử dụng bình thường tối thiểu

3 thủ tục để tính khoảng tin cậy trên x-chặn

• Taylor mở rộng (dễ sử dụng)
• Marc trong phương thức hộp (MIB)
• CAPITANI-POLLASTRI ( https://boa.unimib.it/retrieve/handle/10281/43053/64388/DECAPITANI_Pollastri.pdf )

Taylor mở rộng đơn hàng đầu tiên

$Y=aX+b$$\sigma_a$$\sigma_b$$a$$b$$\sigma_{ab}$

$\sigma_X$$X$

MIB

Xem mã từ Marc trong hộp tại Cách tính khoảng tin cậy của chặn x trong hồi quy tuyến tính? .

CAPITani-POLLASTRI

CAPITANI-POLLASTRI cung cấp Hàm phân phối tích lũy và Hàm mật độ cho tỷ lệ của hai biến ngẫu nhiên bình thường tương quan. Nó có thể được sử dụng để tính khoảng tin cậy của giao thoa x trong hồi quy tuyến tính. Quy trình này cho (gần như) kết quả giống hệt như kết quả từ MIB.

$\hat\beta \sim \mathcal{N}(\beta, \sigma^2 (X^TX)^{-1})$$\hat{\beta}$

Thủ tục như sau:

• $a$$b$
• $\sigma_a, \sigma_b, \sigma_{ab}=\rho\sigma_a\sigma_b$
• $a$$b$$\mathcal{N}(a, b, \sigma_a, \sigma_b, \rho)$$x_{intercept}= \frac{-b}{a}$
• $x_{intercept}= \frac{-b}{a}$

Comparaison của 3 thủ tục

Các thủ tục được so sánh bằng cách sử dụng cấu hình dữ liệu sau:

• x <- 1:10
• một <- 20
• b <- -2
• y <- a + b * x + rnorm (chiều dài (x), trung bình = 0, sd = 1)

10000 mẫu khác nhau được tạo và phân tích bằng 3 phương pháp. Mã (R) được sử dụng để tạo và phân tích có thể được tìm thấy tại: https://github.com/adrienrenaud/stackExchange/blob/master/crossValidated/q221630 quyết.ipynb

• MIB và CAPITANI-POLLASTRI cho kết quả tương đương.
• Thứ tự mở rộng Taylor khác biệt đáng kể so với hai phương pháp khác.
• MIB và CAPITANI-POLLASTRI bị bảo hiểm dưới mức bảo hiểm. 68% (95%) ci được tìm thấy có chứa giá trị thực 63% (92%) của thời gian.
• Taylor đầu tiên mở rộng bị bảo hiểm quá mức. 68% (95%) ci được tìm thấy có chứa giá trị thực 87% (99%) của thời gian.

Kết luận

Phân phối x-chặn là không đối xứng. Nó biện minh cho một khoảng tin cậy không đối xứng. MIB và CAPITANI-POLLASTRI cho kết quả tương đương. CAPITANI-POLLASTRI có một lý lẽ biện minh tốt đẹp và nó cung cấp căn cứ cho MIB. MIB và CAPITANI-POLLASTRI bị bảo hiểm dưới mức trung bình và có thể được sử dụng để đặt khoảng tin cậy.

Tôi muốn giới thiệu bootstrapping phần dư:

library(boot)

set.seed(42)
sims <- boot(residuals(fit), function(r, i, d = data.frame(x, y), yhat = fitted(fit)) {

  d$y <- yhat + r[i]

  fitb <- lm(y ~ x, data = d)

  -coef(fitb)[1]/coef(fitb)[2]
}, R = 1e4)
lines(quantile(sims$t, c(0.025, 0.975)), c(0, 0), col = "blue")

Những gì bạn hiển thị trong biểu đồ là các điểm trong đó giới hạn dưới / trên của dải tin cậy của các dự đoán vượt qua trục. Tôi không nghĩ rằng đây là những giới hạn tin cậy của đánh chặn, nhưng có lẽ chúng là một xấp xỉ thô.