Cắt ngắn phân phối bình thường trong một hiệp

Giả sử tôi muốn tìm một phân phối bình thường bị cắt ngắn, nhưng thay vì được xác định trên một khoảng , trong đó , định nghĩa của nó là trên một khoảng , trong đó .$(a,b)$$-\infty<a<b<\infty$$(a,b)\cup(c,d)$$-\infty<a<b<c<d<\infty$

Trước hết, điều này có còn thỏa mãn định nghĩa về phân phối chuẩn bị cắt ngắn không? Bài viết Wikipedia về điều này chỉ định nghĩa nó bằng cách sử dụng , trong đó và (và X là bình thường với nghĩa là và phương sai ) . Nếu nó không phải là một phân phối bình thường bị cắt ngắn, thì đó là gì?$(a,b)$$-\infty<a<b<\infty$$a<X<b$$\mu$$\sigma^{2}$

Nếu đó là một phân phối bình thường bị cắt cụt, tôi sẽ tính toán nó như thế nào? Tôi đã nghĩ rằng tôi có thể tiếp cận nó bằng Luật xác suất tổng thể, nhưng sau đó tôi sẽ chỉ nhận được phân phối bị cắt ngắn gấp 0,5 lần phân phối bình thường bị cắt ngắn cho mỗi khoảng thời gian trong liên minh, và điều này thực sự không có ý nghĩa với tôi, bởi vì điều đó có nghĩa là thay vì có một giá trị mà X có thể lấy với xác suất tối đa, có hai đỉnh trong phân phối có xác suất bằng nhau (trừ khi tôi làm sai).

Những gì bạn đang mô tả không được cắt ngắn phân phối chuẩn cho mỗi gia nhập , nhưng hàm mật độ xác suất của nó và chức năng phân phối tích lũy có thể dễ dàng tính theo cách tương tự như trong chúng ta nói chung thỏa thuận với các bản phân phối cắt ngắn , vì vậy bạn cần phải phân chia chúng theo khu vực còn sót lại dưới đường cong tức là bởi

$$\int_{ a < x \le b ~\cup ~ c < x \le d} f(x) dx \\ = [F(b)-F(a)] + [F(d)-F(c)]$$

Ở đâu $f(x)$ là mật độ không cắt ngắn và $F(x)$là cdf không cắt ngắn. Điều này có thể được khái quát cho bất kỳ số lượng khoảng thời gian như vậy.

Mật độ phân phối như vậy là

$$g(x) = \begin{cases} \frac{f(x)}{F(b)-F(a) + F(d)-F(c)} & \text{for } a < x \le b ~\cup ~ c < x \le d \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$$

Để thuyết phục bản thân, bạn có thể dễ dàng xác minh kết quả này thông qua mô phỏng đơn giản (xem bên dưới).

set.seed(123)

m <- 0
s <- 1
a <- -2
b <- -1
c <- 1
d <- 2

x <- rnorm(1e5, m, s)
y <- x[(x > a & x <= b) | (x > c & x <= d)]

g <- function(x, mean = 0, sd = 1, a, b, c, d) {
  ifelse((x > a & x <= b) | (x > c & x <= d),
         dnorm(x, mean = mean, sd = sd) /
           ((pnorm(b, mean = mean, sd = sd) - pnorm(a, mean = mean, sd = sd)) +
              (pnorm(d, mean = mean, sd = sd) - pnorm(c, mean = mean, sd = sd))),
         0)
} 

xx <- seq(-4, 4, by = 0.01)
hist(y, 100, xlim = c(-4, 4), freq = FALSE)
lines(xx, g(xx, m, s, a, b, c, d), col = "red")