Kỳ vọng về một hàm của một biến ngẫu nhiên từ CDF

Có thể tính toán kỳ vọng về hàm của một biến ngẫu nhiên chỉ với CDF của rv không? Giả sử tôi có hàm có thuộc tính và thông tin duy nhất tôi có về biến ngẫu nhiên là CDF. $g(x)$ $\int_{-\infty}^{\infty}g(x)dx \leq \infty$

Ví dụ: tôi có một kịch bản trong đó có ba bộ định thời có thể được mô hình hóa thành các biến ngẫu nhiên theo cấp số nhân với các tham số tỷ lệ . Đối với mỗi thời điểm tôi kiếm được phần thưởng theo một số chức năng phần thưởng . Đó là, phần thưởng của tôi cho việc chờ đợi cho đến khi thời gian có thể được viết là . Tuy nhiên, trải nghiệm lợi nhuận giảm dần nên phần thưởng cận biên nhận được từ việc chờ đợi một giây tại lớn hơn một giây khi nói . "Trò chơi" này kết thúc khi một trong hai điều xảy ra. Cả hai bộ định thời hoặc $X_1,X_2,X_3$ $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$ $g(x)$ $t$ $\int_0^tg(x)dx$ $g(x)$ $t=0$ $t=27$ $X_1$ $X_2$ phải đổ chuông hoặc hẹn giờ hoặc phải đổ chuông. Tôi đang cố gắng tìm phần thưởng dự kiến khi chơi trò chơi này. $X_1$ $X_3$

Hiện tại tôi có thể tính toán CDF của mô hình biến ngẫu nhiên thời gian cho đến khi trò chơi kết thúc, nhưng tôi không biết làm thế nào để sử dụng thông tin này khi điều tôi thực sự cần là phần thưởng liên quan đến thời gian này.

Cho đến nay tôi có các biến ngẫu nhiên bổ sung: Đồng thời, hãy để biểu thị CDF của CDF của , có thể được viết là:

W_{12} = max (X_{1}, X_{2}) W_{13} = max (X_{1}, X_{3}) Z = min (W_{12}, W_{13})

$W_{12}=\max(X_1,X_2) \quad W_{13}=\max(X_1,X_3) \quad Z=\min(W_{12},W_{13})$

F_{i} (x), i \in {1, 2, 3}

$F_i(x), i\in \{1,2,3\}$

X_{i}

$X_i$

Z

$Z$

F_{Z} (t) = F_{1} (t) F_{2} (t) + F_{1} (t) F_{3} (t) - F_{1} (t) F_{2} (t) F_{3} (t)

$F_Z(t) = F_1(t)F_2(t) + F_1(t)F_3(t) - F_1(t)F_2(t)F_3(t)$

Tôi biết khi một biến ngẫu nhiên có giá trị không âm, bạn có thể sử dụng phím tắt để tính toán kỳ vọng bằng CDF. Đó là, . Có cái gì đó tương tự tôi có thể sử dụng cho hàm của một biến ngẫu nhiên không, hoặc có cần phải tính pdf của trước để tính $E[X] = \int_0^\infty F(X\geq x)dx$ $Z$ $\int_0^\infty g(t)f_z(t)dx$

random-variable expected-value

— Dừa
nguồn

Bạn có ý nghĩa gì bởi thông tin "chỉ"? CDF cho bạn biết mọi thứ về RV có thể liên quan đến kỳ vọng! Có vẻ như vấn đề tiềm ẩn của bạn có thể liên quan đến hình thức tính toán mà CDF được trao cho bạn. Hãy giải thích hoàn cảnh của bạn. BTW, có thể không xác định hoặc vô hạn ngay cả khi tích phân củalà hữu hạn.

E [g (X)]

$E[g(X)]$

| g |

$|g|$

— whuber

Tôi nghĩ rằng bạn đang tìm kiếm sự tích hợp bởi các phần en.wikipedia.org/wiki/Integration_by_parts

— seanv507

Khi là CDF của biến ngẫu nhiên và là hàm (có thể đo lường được), kỳ vọng của có thể được tìm thấy dưới dạng tích phân Riemann-Stieltjes $F$ $X$ $g$ $g(X)$

E (g (X)) = \int_{- \infty}^{\infty} g (x) d F (x) .

$\mathbb{E}(g(X)) = \int_{-\infty}^\infty g(x) dF(x).$

Điều này thể hiện Luật của nhà thống kê vô thức.

Nếu cũng khác biệt, hãy viết và tích hợp bởi các phần để cung cấp $g$ $dF = -d(1-F)$

E (g (X)) = - g (x) (1 - F (x)) |_{- \infty}^{\infty} + \int_{- \infty}^{\infty} (1 - F (x)) g^{'} (x) d x

$\mathbb{E}(g(X)) = -g(x)(1-F(x)){\big|}_{-\infty}^\infty + \int_{-\infty}^\infty (1-F(x)) g^\prime(x)\, \text{d}x$

cung cấp cả hai bổ sung hội tụ. Điều này có nghĩa là một số điều, có thể được biểu thị đơn giản bằng cách phá vỡ tích phân tại một số giá trị hữu hạn xác định, chẳng hạn như : $0$

${\lim}_{x\to -\infty} g(x)(1-F(x))$ và tồn tại và là hữu hạn. Nếu vậy, phần bổ sung đầu tiên là sự khác biệt của hai phần này. ${\lim}_{x\to \infty} g(x)(1-F(x))$
$\lim_{t\to -\infty} \int_t^0 (1-F(x))g^\prime(x)\,\text{d}x$ và tồn tại và là hữu hạn. Nếu vậy, phần phụ thứ hai là tổng của hai phần này. $\lim_{t\to \infty} \int_0^t (1-F(x))g^\prime(x)\,\text{d}x$

Một vị trí tốt để phá vỡ tích phân là ở bất kỳ 0 nào của , bởi vì - với điều kiện cuối cùng sẽ giảm đủ nhanh cho lớn- điều đó làm cho phần bổ sung đầu tiên biến mất, chỉ còn lại tích phân của so với hàm tồn tại . $g$ $g$ $|x|$ $g^\prime$ $1-F$

Thí dụ

Kỳ vọng của biến không âm có được bằng cách áp dụng công thức cho hàm nhận dạng trong đó và sử dụng thực tế là sự tích hợp có thể bắt đầu từ 0: $X$ $g(x)=x$ $g^\prime(x)=1$

E (X) = - x (1 - F (x)) |_{0}^{\infty} + \int_{0}^{\infty} (1 - F (x)) d x .

$\mathbb{E}(X) = -x(1-F(x))\big|_{0}^\infty + \int_{0}^\infty (1-F(x))\,\text{d}x.$

Được cung cấp (nghĩa là chức năng sinh tồn không có đuôi quá nặng), giới hạn trên của thuật ngữ đầu tiên biến mất. Giới hạn dưới của nó rõ ràng tan biến. Chúng tôi chỉ còn lại với tích phân, đưa ra biểu thức trong câu hỏi. $\lim_{x\to\infty} x (1-F(x)) = 0$

— whuber
nguồn

Cảm ơn, điều này trông giống hệt như tôi muốn. Bây giờ tôi chỉ cần đọc về sự tích hợp Riemann-Stieltjes của tôi.

— CoconutBandit

Trong ứng dụng của bạn, vì liên tục khác biệt ở mọi nơi ngoại trừ , bạn có thể chia tích phân tại thành hai tích phân Riemann và bỏ qua các biến chứng hoàn toàn.

F

$F$

0

$0$

0

$0$

— whuber

"Biến chứng" nghĩa là gì? Ngoài ra, trong điểm thứ hai của bạn, có phải là ? Nếu không, tại sao thay đổi thành ?

\int_{t}^{0} (1 - F (x)) g (x) d x

$\int_t^0(1-F(x))g(x)dx$

\int_{t}^{0} (1 - F (x)) g^{'} (x) d x

$\int_t^0(1-F(x))g'(x)dx$

g^{'} (x)

$g'(x)$

g (x)

$g(x)$

— CoconutBandit

(1) Cảm ơn bạn, những số nguyên tố cần có ở đó. (2) "Biến chứng" đề cập đến việc cần tích phân Riemann - Stieltjes thay vì tích phân Riemann.

— whuber

Điều này sử dụng ba quy tắc phân biệt cơ bản: quy tắc tổng, quy tắc sản phẩm và thực tế là các hằng số có đạo hàm bằng không.

— whuber